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2024-10-03 13:54本頁面
  

【正文】 的值域 解: 我們先求出反函數(shù),它的定義域就是原來函數(shù)的值域。 (B)若為偶函數(shù),則為奇函數(shù)。 (D)若為單調(diào)函數(shù),則為單調(diào)函數(shù)。 解:和均為奇函數(shù), 是偶函數(shù), 如果,則方程就成立。 例2.設(shè)在上可導,反函數(shù)為, 且 求.167。 準則2.夾逼定理。 例2.求 例3.求 三.兩個重要公式 公式1. 公式2.;;。 四.洛必達法則 例1.求 例2.設(shè)函數(shù)連續(xù),且,求 例3.設(shè),常數(shù),求 五.求分段函數(shù)的極限 例.求 六.求極限的反問題 例1.設(shè),求和。 連續(xù) 一.連續(xù)與間斷 例1.設(shè),在內(nèi)有定義,為連續(xù),且,有間斷點,則下列函數(shù)中必有間斷點為 (A) (B) (C) (D) 例2.求的間斷點,并判別其類型。 導數(shù)與微分 一.可導性與連續(xù)性 例1.設(shè),問和為何值時,可導,且求 二.導數(shù)與微分的運算法則和計算公式(略) 三.切線與法線方程 例1.已知曲線的極坐標方程是,求該曲線上對應(yīng)于處的切線與法線的直角坐標方程。 四.高階導數(shù) 例:設(shè) 求(正整數(shù)) 167。 證:令,其中 于是在上連續(xù),在內(nèi)可導, 根據(jù)羅爾定理,存在使 而, ,而 因此 例1.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導,試證: (1)存在,使 (2)存在,使(為任意實數(shù)) 2.模型II:設(shè),在上連續(xù),內(nèi)可導,且,則存在,使 證:令,則, 在上用羅爾定理,存在,使, 即 例2.設(shè)在上連續(xù),內(nèi)可導,為正整數(shù),求證:存在,使得 3.例3.設(shè)在上連續(xù),內(nèi)可導,對任意, 有,求證存在,使 二.拉格朗日中值定理和柯西中值定理 例1.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,試證存在,使得 例2.設(shè)在上連續(xù),內(nèi)可導,且,證明: (I)存在,使得 (II)存在,使 三.泰勒公式(數(shù)學一和數(shù)學二) 例.設(shè)在上三階可導,且, 證明:存在,使得167。 三.最大值和最小值 1.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體和面積的最值問題(第三章再討論) 2.實際應(yīng)用題(略)第三章 一元函數(shù)積分學167。 例2.設(shè),當時,又,求。 有關(guān)變上(下)限積分和積分證明題 一.有關(guān)變上(下)限積分 例1.設(shè)在內(nèi)可導,對所有,均有,求 例2.設(shè)是正值的連續(xù)函數(shù),則曲線在上是凹的。 定積分的應(yīng)用 一.幾何方面 例1.設(shè)在上連續(xù),在內(nèi),證明,且唯一,使得,所圍面積是,所圍面積的三倍。 例3.設(shè)是由拋物線和直線,用所圍成的平面區(qū)域;是由拋物線和直線,所圍成的平面區(qū)域,其中。 (2)問當為何值時,取得最大值?試求此最大值。 2.化為反函數(shù)的微分方程再求解 例1.求微分方程 例2.設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù),且,是的反函數(shù)。 3.積分形式化
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