考研,沖刺,高等數學,微積分)(文件)
【正文】 一．規(guī)定類型的微分方程求解（略） 二．常用的處理技巧 1．變量替換 例1．解 例2．求微分方程的通解。 三．微分方程在幾何問題方面的應用 例1．求通過的曲線方程，使曲線上任意點處切線與軸之交點與切點的距離等于此交點與原點的距離。 三．求空間曲線繞軸一周得旋轉曲面的方程 第一步：從上面聯立方程解出 ， 第二步：旋轉曲面方程為 繞軸一周或繞軸一周的旋轉曲面方程類似地處理 四．空間曲線在坐標平面上的投影 1．曲線的方程 曲線在平面上的投影 先從曲線的方程中消去得到，它表示曲線為準線，母線平行于軸的柱面方程，那么 就是在平面上的投影曲線方程 曲線在平面上投影或在平面上投影類似地處理 2．曲線的方程 則曲線在平面上的投影曲線方程為 曲線在平面上投影曲線方程為 曲線在平面上投影曲線方程為 例．求直線：在平面：上的投影直線的方程，并求繞軸一周所成曲面的方程。 例5．已知確定，其中，均有連續(xù)偏導數，求證 例6．設，求。 例2．求坐標原點到曲線：的最短距離。 二重積分 一. 二重積分的計算 例1．計算，其中由，和軸所圍區(qū)域 例2．計算 例3．求， 二．交換積分的順序 例1．交換的積分順序 例2．設連續(xù)，證明 三．其它 例1．設為上的單調增加的連續(xù)函數，證明： 例2．證明 167。 二．用格林公式等性質來計算曲線積分 例1．求，其中，為正的常數，為從點沿曲線到點的弧。 （I）證：如圖，設是半平面內的任一分段光滑簡單閉曲線，在上任意取定兩點、作圍繞原點的閉曲線，同時得到另一圍繞原點的閉曲線。 （2） 比較（1）、（2）兩式的右端，得 由（3）得，將代入（4）得，所以，從而。 三．梯度、散度和旋度 例1．設，求使 例2．設，計算 （1） （2） （3）第八章 無窮級數（數學一和數學三）167。 167。 例2．設， 試將展開成的冪級數，并求級數的和。30。 傅里葉級數（數學一） 一．傅里葉系數和傅里葉級數的概念。 例2．設級數 的和函數為，求： （1）所滿足的一階微分方程 （2）的表達式 例3．求的和 二．將函數展成冪級數（ 例2．正項數列單調減少，且發(fā)散，問是否收斂？并說明理由。 曲面積分 一．用高斯公式計算曲面積分 例1．設是曲面的上側計算 例2．計算（常數）， 其中：上側 例3．計算其中是不通過點的球面的外側。由（I）知，曲線積分在該區(qū)域內與路徑無關，故當時，總有。 例3．設函數具有連續(xù)導數，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數。167。求在橢圓域上的最大值和最小值。 多元函數的極值 一．二元函數的普通極值 例1．求函數的極值 例2．設是由確定的函
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