【正文】 ??????? ? ??? FaFbF afbff37 ,)(: ThLxxFThC ??? 即為中令在注.的一個特例是或 ThCThL ??,的推廣是可見 ThLThC ??38 ? ? ? ? 1, 23 ??? xxFxxf例：對函數(shù)? ? ? ? ? ?內可導，上連續(xù)，在、證：顯然 21]2[1xFxf? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ????????????? ?????23233725181212 2FfFFff的正確性上驗證，在 ThC ?]2[1? ? 02 ??? xxF且? ?2,1914 ???39 例 設 在 [a, b]上可導，又 ab 分析： 40 所以如令 對它們在 [a, b]上應用柯西中值定理即可。此例說明洛必達法則不是萬能的 . xxx c o s1c o s1lim????54 可見一味用洛必達法則，則永遠無結果。 但這種表達式的精度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅 是關于 x x0 的高階無窮小，且無法具體估計出 誤差的大小。0)( ?? xf即.0)( ?? xf即84 ? ? ??? 上）在（，那么）（）內）如果在（ baxfxfba ,0,1? ? ??? 上）在（，那么）（）內）如果在（ baxfxfba ,0,2間區(qū)間換算成其他各種區(qū)注：此判定方法中的閉也成立。在則，）（ ],[)(0)(2 baxfxf ???3定理 （凸性的第二判別法） 103 證：如圖 ),()) ,(,( 0000 baxxfxMAB ?上任取一點在曲線:00 的方程為的切線則過 TMM))(( 000 xxxfxfY ???? ）（上對應于則在對 TMxx 001 ,?:11 的縱坐標為的 Mx ?))()( 01001 xxxfxfY ???? （:),(: 111 它們的差為的縱坐標為上的點點曲線對應于 xfyMABx ?))(( 0100111 xxxfxfxfYy ?????? ）（）（）二階可導，）在（（ baxf? 處的一階泰勒公式，在由 0)( xxf202202))(( ）（！）（）（）（ xxfxxxfxfxf ???????? ?2022100112))(( ）（?。ǎǎ〞r當 xxfxxxfxfxfxx ????????? ?之間與在 0xx?之間與在 01 xx?(*)104 202211 )(!2:( * ))( xxfYyxf ????? ）（式有代入將 ?）同號（與 ?fYyxx ?????? 11201 0)(?,00 ??????? ）（）（）內，若在（ ?fxfba,00 ??????? ）（）（）內，若在（ ?fxfba是下凸的弧 ABYy ??? 11。 ?? ?????????? 000)()(lim)(:0 xxxfxfxfxx?證,)()(0)( 00 同號與若 xxxfxf ????????,)()(0)( 00 異號與若 xxxfxf ????????0)(l i m00????? xxxfxx,)( 0 點左右變號在即 xxf ??.)( 0 點左右變號在亦有 xxf ??112 的凸區(qū)間與拐點求曲線例 12: 34 ??? xxy)1(12121264 223 ????????? xxxxyxxy解：1。（是試證點 xfxfx ))(,( 00:),(021)( )(lim: 0300時有使當由證 ?? xUxxx xfxx??????? ???異號與即 3030)()(0)( )( xxxfxx xf ????? ??下凸曲線時當 )(0)(),( 00 xfyxfxxx ????????? ?上凸曲線時當 )(0)(),( 00 xfyxfxxx ???????? ?點連續(xù)在二階可導且因為 0)()( xxfxf ?.))(,( 00 是一個拐點點 xfx?21)(lim 300?????? xxxfxx）（117 例 : 利用函數(shù)圖形的凸性證明不等式： 22yxyxeee???? ? ,: tetf ?令解 ? ? ? ? ,0?????? tetftf?故函數(shù)圖形是下凸的， ? ? ? ? ,22 ?????? ???? yxfyfxf 22yxyxeee????118 作業(yè) 作 業(yè) P194頁： 34(A) 7(雙 ), 8(單 ), 9 P195頁： 34(B) 10(1), 11 119 第五節(jié) 函數(shù)的極值和最大最小值 一,函數(shù)的極值 第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大、最小值 一 ,函數(shù)的極值及其求法 若 f(x) f(x0),則稱 f(x0)為 f(x)的一個 定義 ? ? ? ? ? ? , 0 baxbaxf ?內有定義，在設),( 0 ?xUx ?對極大值 ,x0稱為極大值點； 若 f(x) f(x0),則稱 f(x0)為 f(x)的一個 極小值 ,x0稱為極小值點。用第一充分條件判定。,)( 個部分區(qū)間分成用這些點將的間斷點的點以及 nDxf確定函數(shù)的單的符號在這些部分區(qū)間內確定 ,)(),()3 xfxf ???。)4 確定曲線的漸近線為使圖形作的根所對應的函數(shù)值及求出 ,0)(0)()5 ????? xfxf交特別是曲線與坐標軸的特殊點的相對準確可補充一些 ,.點坐標二、函數(shù)圖像的描繪 144 例 。 130 131 二,函數(shù)的最大最小值 二 , 函數(shù)的最大最小值 ? ? 有限個點處導數(shù)為零，上連續(xù)，可導且至多在在設 baxf ,)(:）（則 xf? ? 必存在，最小值）的最大值（上，在 mMxfba01值必為極大小則此最大值在區(qū)間內取得小如最大 )(,)(2 0所以極值點必為駐點內可導在因為值小 ,),()(,)( baxf,)(3 0 處取得端點的最值還可能在區(qū)間的 baxf132 :最值的求法為則內的駐點為在設 nxxxbaxf ,),()( 21 ?? ?)(,),(),(),(m a x 1 nxfxfbfafM ??? ?)(,),(),(),(m i n 1 nxfxfbfafm ??133 ? ? 的最大與最小值，在例：求 43141232 23 ????? xxxy)1)(2(61266: 2 ??????? xxxxxf ）（解1,20 21 ?????? xxxf ）（令,71,342: ??? ）（）（因為 ff711424 ????? ）（）（ fmfM1 4 24,233 ??? ）（）（ ff134 例 135 例 ),0(),21( ，軸交于作直線與，例：過 aAoxp）為最?。ㄊ沟闹?，求 0,0, ??? bababa),0( bBy 軸交于與136 :解122121????????? aabababba112)(: 22?????????aaaaaaabaaS令 ,1 ），（ ???a2121）（）（????aaS? 210 ????? aaS ）（令的唯一駐點，是 )1(21 ????? aa?2212,21 ???????? ba aba 由是極小值點為最小時所以當 baba ???????? ,2221上，在），（設直線 Lbyax 211 ???137 nxxxn ,: 21 ?所得數(shù)據(jù)為次的長度用某種儀器測量某零件例長度。 120 注 : ① 極大 (小 )值都是局部性態(tài) ,可能出現(xiàn)極大值小于極小值 的情況 ② 極大值不一定是最大值 ,極小值也不一定是最小值 ③ 從圖中可見曲線在函數(shù)的極值點所對應的那些點處具 有水平切線 ,反之不真 ,如 y = x3 在 x = 0 處有水平切線 , 但 x = 0 不是極值點 . 121 下面給出函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件 : )(1 必要條件定理,)()()( 00 值小為極大可導，且在點若 xfxxf0)( 0 ?? xf則必有：Th1 函數(shù)取得極值的必要條件 )()(: 0 極小值的情況類似為極大值不妨設證 xf于是有使得對則 ),()(),(0 00 xfxfxUx ????? ??0)()(lim00000??????? xxxfxfxxxx時當0)()(lim00000??????? xxxfxfxxxx時當0)( 0 ??? xf122 :駐點 稱為駐點的點滿足 xxf 0)( ??駐點則極值點可導若說明定理 ,)(:1 xf但不是極值點是駐點如 ,0,: 3 ?? xxy 由上可見求出函數(shù)的駐點后還需判別其是否為 極值點 ,若是極值點還需判別其是 極大值還是極小值點 . 123 Th2 判別極值的第一種充分條件 一階充分條件）（第一種充分條件或稱定理 2000 ?? ）（某個領域內可導，且）在（設 xfxxf，左側鄰近時在）當 0)(1 0 ?? xfxx,0)(0 ?? xfxx 右側鄰近時在當取得極大值。)1,0( .凸區(qū)間由表中易見113 的拐點求曲線例 141232: 23 ???? xxxy。時，不等式成為等式，當 ba ?221 baab ??? 時有此例中當 ?109 2,曲線的拐點 Ⅱ , 曲線的拐點 定義 2 連續(xù)函數(shù)下凸弧與上凸弧的分界點 稱為這曲線的 拐點 （或扭轉點）。 x y 0 x y 0 下凸 x1 x2 弦上弧下 ,則曲線為下凸； 上凸 x1 x2 弦下弧上 ,則曲線為上凸 。 63 來近似表達 f (x). 64 首先，可定出系數(shù)： 65 為此，我們有 Taylor 中值定理： 20