【文章內容簡介】 中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個定理——費馬定理，常被用來證明羅爾定理，也被用來作為判斷極值存在的必要條件。作為微積分創(chuàng)立者之一的數(shù)學家費馬在研究極小問題和極大問題的解法時，研究出“虛擬等式法”[4]——費馬定理原形。虛擬等式法的含義可以用以下例子來加以說明：有一個線段，設其長度，問如何把這樣一個線段截成兩個線段，使這兩個線段長度乘積最大。1691年，法國數(shù)學家羅爾(公元1652——公元1719)在其發(fā)表的《方程的解法》一文中給出多項式形式的費馬定理的推廣[5]引申式——羅爾定理：“設為多項式，在多項式2的兩個相鄰根中，方程至少有一個實根?！边@被稱為原始的羅爾定理。當然也是現(xiàn)代羅爾定理“若函數(shù)，在上連續(xù)，在內可導，且則在內至少存在一點，使得”在多項式中的具體應用。從羅爾定理推導過程和具體內容來看，它和現(xiàn)在高等數(shù)學教材中的羅爾定理是有所不同的，用純代數(shù)方法證明的羅爾定理和微積分概念幾乎沒有什么聯(lián)系。我們現(xiàn)在看到的對一般函數(shù)的羅爾定理，是后人根據(jù)微積分理論重新表述和證明的。1834年，德國數(shù)學家德羅比什首先提出“羅爾定理(Rolle定理)”這一名稱，并于1846年，由意大利數(shù)學家貝拉維蒂斯(Bellavifis)在發(fā)表的論文中正式使用。由上可知，人們對微分中值定理的研究[6]大約經歷了將近三百年時間， 從一開始的直觀到現(xiàn)在的抽象表達，從一開始的特殊形式到現(xiàn)在的一般形式，從一開始，要求的強條件到現(xiàn)在的弱條件，人們逐漸認識到微中值定理的重要性。循序漸進是人們認識探索事物規(guī)律的一般過程，微分中值定理的發(fā)展形成也不例外，晦澀難懂的證明推理被一些新的更簡單的方法所替代，應用范圍逐步擴大，這是數(shù)學發(fā)展的必由之路。6 微分中值定理的基本內容中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質和區(qū)間內某一點導數(shù)之間的關系，是聯(lián)系局部和整體的紐帶，是微分學應用以及自身發(fā)展的理論基礎，因此說中值定理是微分學的基本定理[7]。它在數(shù)學中占了很重要的位置，本文主要介紹它在解題中的一些應用。中值定理有四個：羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）定理。 羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)，在上連續(xù)，在內可導，且,則在內至少存在一點，使得羅爾定理的幾何意義是說：在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條水平切線。注：定理中三個條件缺少任何一個，結論將不一定成立。 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù)，在上連續(xù)，在內可導，則在內至少存在一點，使得拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩點的連線。拉格朗日公式有下面幾種等價表示形式[8]：值得注意的是，拉格朗日公式無論對于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)。另外，若取，則拉格朗日公式可變成最后要注意的是，拉格朗日定理和柯西定理中的條件只是充分條件，而不是必要條件[9]。 柯西（Cauchy）中值定理假設函數(shù)和在上連續(xù)，在內可導，且，則至少存在一點，使柯西中值定理的幾何意義是：滿足定理條件的由所確定的曲線上至少有一點，曲線的切線平行兩端點連線。 泰勒（Taylor）定理若在包含的某開區(qū)間內具有直到階的導數(shù)，則當時，有其中是n階泰勒公式的拉格朗日余項：，7 微分中值定理之間的聯(lián)系羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。因為，在柯西中值定理中令，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加條件，即得到羅爾定理。羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，三個中值定理的幾何意義有一個共同點：定理條件的函數(shù)曲線上至少有一點的切線平行曲線在區(qū)間上兩端點的連線?？偟膩碚f，這三個定理既單獨存在，相互之間又存在著聯(lián)系。我們從上面的討論中可以總結得到，羅爾定理是這一塊內容的基石，而拉格朗日定理則是這一塊內容的核心，那么柯西定理是這一塊內容的推廣應用。8 微分中值定理的應用微分中值定理是微分學的理論基礎，微分學的很多重要應用都建立在這個基礎上。微分中值定理常用來解決下列問題：判斷可導函數(shù)在給定區(qū)間內根的存在以及根的個數(shù)，求出與給定函數(shù)相應的中值公式，并證明可導函數(shù)的某些等式與不等式，證明可導函在區(qū)間上（內）的某些整體性質，如單調性、有界性、一致連續(xù)性、零點以及其他一些性質。對于這些證明題，除了運用微分中值定理這些方法外，還有三種證明技巧：一是直接證明，這種情況不多見，一般在驗證符合某定理條件后，即可定理得出結論；二是引入輔助函數(shù)，這種情況比較常見，一個般是將待為形（如拼湊重組、移項等），構成一個或兩個新的輔助函數(shù)，驗證它們符合某個中值定理，然后利用定理導出待證結論，這種方法需要一定的技巧，而技巧往往又要根據(jù)具體問題確定； 三是反證法，假設待證命題的逆例題成立，然后從推導過程中找出與已知結論（包括極限、連續(xù)、可微等級概念與法則、性質）的矛盾，從而證明原命題成立[10]。 根的存在性證明【例1】 證明方程在內至少有一個實根，其中均為常數(shù)。證 設，上面的問題等價于的導數(shù)在內至少有一個零點。因為在上連續(xù)，在內可導，且。于是由羅爾定理知，至少存在一點，使，即是方程的根。【例2】 函數(shù)稱為次勒讓德多項式，證明：在內恰有個不同的實根[11]。證 由高階導數(shù)的萊布尼茨公式知，函數(shù)中都含有因式，故當時，都有實根1和1?？紤]，它僅有相異的兩個實根1和1，由羅爾定理知，在內至少有一個根。所以，在上有三個相異的根1，1，再由羅爾定理知，在和內至少各有一個根，所以