【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 中，人們通常將它作為微分中值定理的第一個(gè)定理——費(fèi)馬定理，常被用來(lái)證明羅爾定理，也被用來(lái)作為判斷極值存在的必要條件。作為微積分創(chuàng)立者之一的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在研究極小問(wèn)題和極大問(wèn)題的解法時(shí)，研究出“虛擬等式法”[4]——費(fèi)馬定理原形。虛擬等式法的含義可以用以下例子來(lái)加以說(shuō)明：有一個(gè)線(xiàn)段，設(shè)其長(zhǎng)度，問(wèn)如何把這樣一個(gè)線(xiàn)段截成兩個(gè)線(xiàn)段，使這兩個(gè)線(xiàn)段長(zhǎng)度乘積最大。1691年，法國(guó)數(shù)學(xué)家羅爾(公元1652——公元1719)在其發(fā)表的《方程的解法》一文中給出多項(xiàng)式形式的費(fèi)馬定理的推廣[5]引申式——羅爾定理：“設(shè)為多項(xiàng)式，在多項(xiàng)式2的兩個(gè)相鄰根中，方程至少有一個(gè)實(shí)根?！边@被稱(chēng)為原始的羅爾定理。當(dāng)然也是現(xiàn)代羅爾定理“若函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得”在多項(xiàng)式中的具體應(yīng)用。從羅爾定理推導(dǎo)過(guò)程和具體內(nèi)容來(lái)看，它和現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材中的羅爾定理是有所不同的，用純代數(shù)方法證明的羅爾定理和微積分概念幾乎沒(méi)有什么聯(lián)系。我們現(xiàn)在看到的對(duì)一般函數(shù)的羅爾定理，是后人根據(jù)微積分理論重新表述和證明的。1834年，德國(guó)數(shù)學(xué)家德羅比什首先提出“羅爾定理(Rolle定理)”這一名稱(chēng)，并于1846年，由意大利數(shù)學(xué)家貝拉維蒂斯(Bellavifis)在發(fā)表的論文中正式使用。由上可知，人們對(duì)微分中值定理的研究[6]大約經(jīng)歷了將近三百年時(shí)間， 從一開(kāi)始的直觀(guān)到現(xiàn)在的抽象表達(dá)，從一開(kāi)始的特殊形式到現(xiàn)在的一般形式，從一開(kāi)始，要求的強(qiáng)條件到現(xiàn)在的弱條件，人們逐漸認(rèn)識(shí)到微中值定理的重要性。循序漸進(jìn)是人們認(rèn)識(shí)探索事物規(guī)律的一般過(guò)程，微分中值定理的發(fā)展形成也不例外，晦澀難懂的證明推理被一些新的更簡(jiǎn)單的方法所替代，應(yīng)用范圍逐步擴(kuò)大，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的必由之路。6 微分中值定理的基本內(nèi)容中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間的整體性質(zhì)和區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，是聯(lián)系局部和整體的紐帶，是微分學(xué)應(yīng)用以及自身發(fā)展的理論基礎(chǔ)，因此說(shuō)中值定理是微分學(xué)的基本定理[7]。它在數(shù)學(xué)中占了很重要的位置，本文主要介紹它在解題中的一些應(yīng)用。中值定理有四個(gè)：羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）定理。 羅爾(Rolle)中值定理若函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得羅爾定理的幾何意義是說(shuō)：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線(xiàn)上，如果曲線(xiàn)的兩端點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線(xiàn)。注：定理中三個(gè)條件缺少任何一個(gè)，結(jié)論將不一定成立。 拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的曲線(xiàn)上至少存在一點(diǎn)，該曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于曲線(xiàn)兩點(diǎn)的連線(xiàn)。拉格朗日公式有下面幾種等價(jià)表示形式[8]：值得注意的是，拉格朗日公式無(wú)論對(duì)于，還是都成立，而則是介于與之間的某一定數(shù)。另外，若取，則拉格朗日公式可變成最后要注意的是，拉格朗日定理和柯西定理中的條件只是充分條件，而不是必要條件[9]。 柯西（Cauchy）中值定理假設(shè)函數(shù)和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則至少存在一點(diǎn)，使柯西中值定理的幾何意義是：滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的由所確定的曲線(xiàn)上至少有一點(diǎn)，曲線(xiàn)的切線(xiàn)平行兩端點(diǎn)連線(xiàn)。 泰勒（Taylor）定理若在包含的某開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有其中是n階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)：，7 微分中值定理之間的聯(lián)系羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。因?yàn)?，在柯西中值定理中令，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加條件，即得到羅爾定理。羅爾(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，三個(gè)中值定理的幾何意義有一個(gè)共同點(diǎn)：定理?xiàng)l件的函數(shù)曲線(xiàn)上至少有一點(diǎn)的切線(xiàn)平行曲線(xiàn)在區(qū)間上兩端點(diǎn)的連線(xiàn)?？偟膩?lái)說(shuō)，這三個(gè)定理既單獨(dú)存在，相互之間又存在著聯(lián)系。我們從上面的討論中可以總結(jié)得到，羅爾定理是這一塊內(nèi)容的基石，而拉格朗日定理則是這一塊內(nèi)容的核心，那么柯西定理是這一塊內(nèi)容的推廣應(yīng)用。8 微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，微分學(xué)的很多重要應(yīng)用都建立在這個(gè)基礎(chǔ)上。微分中值定理常用來(lái)解決下列問(wèn)題：判斷可導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)根的存在以及根的個(gè)數(shù)，求出與給定函數(shù)相應(yīng)的中值公式，并證明可導(dǎo)函數(shù)的某些等式與不等式，證明可導(dǎo)函在區(qū)間上（內(nèi)）的某些整體性質(zhì)，如單調(diào)性、有界性、一致連續(xù)性、零點(diǎn)以及其他一些性質(zhì)。對(duì)于這些證明題，除了運(yùn)用微分中值定理這些方法外，還有三種證明技巧：一是直接證明，這種情況不多見(jiàn)，一般在驗(yàn)證符合某定理?xiàng)l件后，即可定理得出結(jié)論；二是引入輔助函數(shù)，這種情況比較常見(jiàn)，一個(gè)般是將待為形（如拼湊重組、移項(xiàng)等），構(gòu)成一個(gè)或兩個(gè)新的輔助函數(shù)，驗(yàn)證它們符合某個(gè)中值定理，然后利用定理導(dǎo)出待證結(jié)論，這種方法需要一定的技巧，而技巧往往又要根據(jù)具體問(wèn)題確定； 三是反證法，假設(shè)待證命題的逆例題成立，然后從推導(dǎo)過(guò)程中找出與已知結(jié)論（包括極限、連續(xù)、可微等級(jí)概念與法則、性質(zhì)）的矛盾，從而證明原命題成立[10]。 根的存在性證明【例1】 證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中均為常數(shù)。證 設(shè)，上面的問(wèn)題等價(jià)于的導(dǎo)數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且。于是由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)，使，即是方程的根?！纠?】 函數(shù)稱(chēng)為次勒讓德多項(xiàng)式，證明：在內(nèi)恰有個(gè)不同的實(shí)根[11]。證 由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式知，函數(shù)中都含有因式，故當(dāng)時(shí)，都有實(shí)根1和1?？紤]，它僅有相異的兩個(gè)實(shí)根1和1，由羅爾定理知，在內(nèi)至少有一個(gè)根。所以，在上有三個(gè)相異的根1，1，再由羅爾定理知，在和內(nèi)至少各有一個(gè)根，所以