微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容提要典型例題(編輯修改稿)
2025-05-26 06:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ????? xxxfxx 1111lnl i m)(l i m 0?11 ( 0 , )xx??? ? ??????返回 后頁(yè) 前頁(yè) ,0時(shí)當(dāng) ?x可知 , ,0)( ?xf即 ).0(,1 1)11l n ( ???? xxx法二 用 Lagrange定理 ).0(,1 1)11l n ( ???? xxx證明設(shè) ,ln)( xxg ? ]1,[ ?xx Lagrange定理 ??? xx ln)1l n ( 1??? xx ?),1(1 xx ???,111x???由 得 ).0(,1 1)11l n ( ???? xxx即 ??? xx ln)1l n (x?11返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 問(wèn)方程 )0(ln ?? aaxx 有幾個(gè)實(shí)根 解 )0(ln)( ??? xaxxxf記axxf ???? 1)( axxf 10)( ??? 得令時(shí)當(dāng) ax 1? 0)( ?? xf時(shí)當(dāng) ax 1? 0)( ?? xf11ln)1(m a x ???? aaff 同時(shí)也是最大值 分三種情況討論 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ① 011ln)1( ??? aaf ea ??由于 ?????? )(l i m xfx ????? )(l i m0 xfx方程有兩個(gè)實(shí)根，分別位于 ),1(),1,0( ??aa② 011ln)1( ??? aaf ea 1??方程僅有一個(gè)實(shí)根，即 ax 1?③ 011ln)1( ??? aaf 方程無(wú)實(shí)根 ① ② ③ 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 證明不等式 002ln ln ( ) ln , ( , ) .xyx x y y x y x y++ + 證 ),0(ln)( ?? ttttf令,1ln)( ??? ttf則 ,01)( ???? ttf.0,0),(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf)2()]()([21 yxfyfxf ???于是,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ) 0 , ( 0 ) 0f x f?? ??設(shè) 證明對(duì)任意 120 , 0xx??有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ?證一 120 xx??1 2 2 1( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ?21()fx???1 2 1( ) ( ) 0xf ? ? ???? ? ?1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ? ?2 2 1 2(,x x x?? ? ?例 不妨設(shè) ? ? ? ?1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( 0 )f x x f x f x f? ? ? ? ?12()? ? ???110)x???證二 12( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x f x x f x f x F x?? ? ? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 解 法一 用三次洛必達(dá)法則可求得 . 法二 結(jié)合其它方法用三次洛必達(dá)法則可求得 . 法三 xex x ~1,0 ?? 時(shí)x x e e x x x sin lim sin 0 ? ? ? 求極限 x x e e x x x x sin 1 lim sin sin 0 ? ? ? ? ? 原式 x x e e x x x x x sin 1 lim lim sin 0 sin 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ? ? 例 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 法四 )20(,0 ???? xx設(shè).sin xx ?用 Lagrange中值定理 。],[si n 上連續(xù)在 xxe x(1) (2) ,),( s i n 內(nèi)可導(dǎo)在 xxe x .)( xx ee ??,),( s in 內(nèi)在 xx 使至少有一點(diǎn) ,??O ?x?xsin ??同理 , 有對(duì) ,0?x所以 , x x e e x x x sin lim sin 0 ? ? ? 求極限 ? e x x e e x x ? ? ? sin sin ? ? ? ? ? x x e e x x x sin lim sin 0 1 lim 0 ? ? ? ? ? e 1 sin lim sin 0 ? ? ? ? ? x x e e x x x 1 sin lim sin 0 ? ? ? ? x x e e x x x 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 cpcx xxxpx ,011lna r c t a n2lim0求設(shè) ??????解 px xxxx????11lna r c ta n2lim0px xxxx )1l n ()1l n (a r c t a n2lim0??????)00
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