微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造探索總結(jié)(編輯修改稿)
2025-04-19 08:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 要內(nèi)容，因為它的應(yīng)用非常廣泛，而構(gòu)造輔助函數(shù)是解決羅爾定理問題的最主要的方法．若輔助函數(shù)構(gòu)造的合理巧妙，滿足定理的三個條件，則問題很快就能迎刃而解．羅爾定理：若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)；則在內(nèi)至少存在一點，使得.推廣的羅爾定理設(shè)函數(shù)滿足條件：(1)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可微；(2)；則在內(nèi)至少存在一點，使．證明 不妨設(shè)，作輔助函數(shù)，所以由的構(gòu)造可知，在上連續(xù)，從而滿足羅爾定理的條件即(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)；則在內(nèi)至少存在一點，使得．證畢．[8] 設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)．求證：存在，使得 ．證明 利用原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，應(yīng)用羅爾定理可知存在，使得，據(jù)行列式性質(zhì)知所以 ．[2] 設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，．求證：在與之間存在一點，使．證明 利用原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)，則顯然有在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.由羅爾定理知使得，即．命題得證．就高等數(shù)學(xué)而言，羅爾定理的主要作用是來證明拉格朗日中值定理與柯西中值定理．接下來本文將通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理解決問題．(Lagrange)中值定理中的應(yīng)用拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點，使得．證明 利用常數(shù)值法構(gòu)造輔助函數(shù)，令，則作輔助函數(shù)，則顯然有．又因為在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，所以顯然有滿足羅爾定理的條件：(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)；(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(3)；所以在內(nèi)至少存在一點，使得，即．從而．定理得證．[9] 證明對一切，成立不等式．證明 構(gòu)造輔助函數(shù)，則由拉格朗日中值定理可得，當(dāng)時，由可推知 ，當(dāng)時，由可推得 ．從而得到所要證明的結(jié)論．[10] 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，若不是線性函數(shù)，且，求證：使得．證明 利用原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)，則，在內(nèi)可導(dǎo)，且，因為不是線性函數(shù)，所以，使．若，則在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，使即 ．若，則在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，使即 ．[1] 設(shè)，求證：，使．證明 利用原函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù)，在上應(yīng)用拉格朗日中值定理得所以令，有 ．[1] 設(shè)在上二次連續(xù)可微，求證：，使．證明 作輔助函數(shù) ，則在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理有，而()所以 (Cauchy)中值定理中的應(yīng)用柯西中值定理：設(shè)函數(shù)和滿足：(1)在上都連續(xù)；(2)在上都可導(dǎo)；(3)和不同時為零；(4)；則存在，使得．證明 作輔助函數(shù)易見在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使得因為，所以有．[11] 設(shè)在內(nèi)二次可微，用柯西中值定理證明：，存在在與之間，使得 ()成立(此即展開到一次冪
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