微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造探索總結(jié)(參考版)
2025-03-26 08:16本頁面
【正文】 2. 構(gòu)造輔助函數(shù)的方法探討用輔助函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題，是高等數(shù)學(xué)中常用的方法之一，如果能用好輔助函數(shù)，則輕而易舉就能給出證明過程．為了更好地利用輔助函數(shù)，在此給出幾種尋求輔助函數(shù)的常見方法．在利用微分中值定理求解介值問題時，要證明的結(jié)論往往是某一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，因此可通過不定積分求出原函數(shù)作為輔助函數(shù)，其步驟可以總結(jié)如下：(1)將欲證的結(jié)果中的換成；(2)通過恒等變形將結(jié)論化為易消除導(dǎo)數(shù)符號形式；(3)用觀察法或積分法求出原函數(shù)，為簡便積分，常數(shù)取作零；(4)移項(xiàng)使式子一邊為0，則另一邊即為所求的輔助函數(shù)．[3] 函數(shù)和在閉區(qū)間上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且，求證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使成立．分析 題中的結(jié)論相當(dāng)于證明用替換，得，積分后得即 由此聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)．證明 作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，存在一點(diǎn)，使得，即．從而得出．[4] 設(shè)，在上二階可導(dǎo)，且，求證：存在一個，使得．分析 題中結(jié)論相當(dāng)于證明用替換得積分后得得輔助函數(shù)．證明 作輔助函數(shù)顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又可知滿足羅爾定理的條件，于是存在，使，即故．[5] 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使．分析 本題要證明，即證：至少存在一點(diǎn)，使，用替換得，積分后得輔助函數(shù)．證明 作輔助函數(shù)則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且所以 ．根據(jù)羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)使，即．常數(shù)值法適用于常數(shù)部分可分離出的命題，其構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟如下：①將常數(shù)部分令作；②作恒等變形，使等式一端及構(gòu)成代數(shù)式，另一端及構(gòu)成代數(shù)式；③分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對稱式，若是，只要將端點(diǎn)(或)改成，相應(yīng)的函數(shù)值(或)改成，則變量后的端點(diǎn)表達(dá)式即為所求的輔助函數(shù)．[6] 設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求證：存在一個，使得．分析 令常數(shù)部分為，即 作恒等變形 ()顯然式()為對稱式，從而得到輔助函數(shù)．證明 作輔助函數(shù)，由題設(shè)條件可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又可見在上滿足羅爾定理的條件，于是存在，使得，即．此法適用于不等式的證明，直接把要證明的結(jié)論中的某個參數(shù)“變易”為變量，從而構(gòu)造出相應(yīng)的輔助函數(shù)．最終一般都是利用該輔助函數(shù)的單調(diào)性完成證明．[7] 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，求證：．證明 將結(jié)論中的參數(shù)變易為變量，得輔助函數(shù) 則，因?yàn)樵谏隙A可導(dǎo)，且，故 即在上單調(diào)遞增，所以對于，都有，特別地，我們有，即．3. 輔助函數(shù)在微積分學(xué)中的應(yīng)用分析羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，積分中值定理是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容，這些定理貫穿了微積分學(xué)的始終，利用它們證明有關(guān)命題，往往需要構(gòu)造輔助函數(shù)，便可以把微積分學(xué)中較難的問題轉(zhuǎn)化為易解決的問題，下面將舉例說明輔助函數(shù)在解決微積分學(xué)
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