【正文】 。解 設(shè),有，知，從而{an}無(wú)界，故{an}無(wú)界得子數(shù)列，取n=8k，得子數(shù)列，由，知數(shù)列發(fā)散。例24 求.解 原式= = .注：因?yàn)?是廣義積分，是瑕點(diǎn)，所以下限代入原函數(shù)是指原函數(shù)在處的極限。例23 已知為常數(shù)，求。由于在求函數(shù)極限時(shí)，可對(duì)分式分子、分母中的復(fù)雜因式用簡(jiǎn)單的等價(jià)量來(lái)替換。解 由, 得。例22 設(shè)，求，其中。例21 求.解 由為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，知收斂，因此，.（2）收斂由于前n項(xiàng)和為,因此的收斂性等價(jià)于的收斂性。（此種方法對(duì)數(shù)學(xué)一、三要求，對(duì)數(shù)學(xué)二、四不要求）（1）若收斂，則。例18 求.解 原式===.例19 求.解法一 原式 .解法二 原式。由數(shù)列中的通項(xiàng)是的表達(dá)式，即而是特殊與一般的關(guān)系，由歸納原則知. （1）反之不一定。2. 在證明此數(shù)列有界的過(guò)程中，用到了不等式當(dāng)時(shí)。注：1. 此數(shù)列雖然我們證明它收斂，但此極限值用上述的方法就求不出來(lái)。解 由于，知遞增，又 。設(shè)收斂于的正根。下面再證有上界，由。（ii）假設(shè)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，有，即時(shí)，成立。由單調(diào)有界定理知收斂，設(shè)，由令，有，化簡(jiǎn)有例16 設(shè)收斂于方程的正根。知。解 設(shè)，由不等式 ，又遞減有下界，故收斂。例14 設(shè)。知遞減。即遞減，若，則遞增。分析 由于，且，所以要判斷是否單調(diào)，關(guān)鍵是判斷分式的分子中與1之間的大小，即與1之間的大小。因此，一定要證明收斂后，再設(shè)。這里犯錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有證明的極限是否存在，便假設(shè)。例如 數(shù)列是發(fā)散的。從而有上界。在上題證明了數(shù)列有界時(shí)，我們也可用下面方法證。設(shè)，令，有，解得，知，知，由條件知。即時(shí)也成立，由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)一切，都有。當(dāng)時(shí)，由,，即時(shí)不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法知，知遞增。由于，即時(shí)不等式成立。由題意知，所以，由于太復(fù)雜，我們對(duì)它作適當(dāng)放大，有，則必有。關(guān)鍵是證明它有上界，哪一個(gè)數(shù)是的上界呢？我們觀察不出來(lái)。例12 設(shè)為常數(shù)，證明極限存在，并求。單調(diào)有界定理適合數(shù)列的項(xiàng)用遞推關(guān)系式給出的數(shù)列。解法二 由=，其中，而，知為有界量，又，根據(jù)夾逼定理知。而是在上，把區(qū)間[0，1]等分，取每個(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)得到的和式，由定積分定義知 ，且，根據(jù)夾逼定理知。解法一 由條件知{un}遞增，知從而 , 得 且，根據(jù)夾逼定理知解法二 由條件知un0，顯然{un}遞增，知遞減，且，由單調(diào)有界定理知收斂，設(shè)，有. 若不然, 有，又 ，得=0，與相矛盾，故假設(shè)不成立，所以.例10 求.解 設(shè)，由在和式中。夾逼定理不僅能證明數(shù)列極限并可求出極限的值。解 原式 這個(gè)例子表明當(dāng)分子最高次冪小于分母最高次冪時(shí)，分式極限為零；當(dāng)分子最高次冪等于分母最高次冪時(shí)，分式極限就是分子、分母最高次冪的系數(shù)之比；當(dāng)分子最高次冪大于分母最高次冪時(shí)，分式的極限為，以后該例題的結(jié)果可以作為結(jié)論用，同理可證對(duì)分子、分母的每一項(xiàng)冪指數(shù)是正數(shù)時(shí)結(jié)果仍成立，例如。例2 證明 。只要，取，當(dāng)nN時(shí)，有。（2）適當(dāng)放大法（充分條件）有時(shí)從中等價(jià)解出很困難。 解題方法與技巧一、求數(shù)列極限的方法要證，即證明，當(dāng)nN時(shí)，nN是成立的充分條件，從而有（1）直接證法（充要條件），找出使成立的充要條件（當(dāng)然也是充分條件），即和中學(xué)解一般不等式的方法相同，由。bn}，{anbn}，（b≠0）的極限都存在，且（1）； （2）；特別地，當(dāng)k為常數(shù)時(shí)，有；（3）.注意：數(shù)列極限的四則運(yùn)算前提是兩個(gè)數(shù)列極限都存在，并可把數(shù)列極限推廣到有限項(xiàng)極限的四則運(yùn)算，但數(shù)列極限的運(yùn)算法則不能推廣到無(wú)限項(xiàng).例 。該定理是判斷數(shù)列{an}發(fā)散的一個(gè)重要方法。性質(zhì)6 數(shù)列{an}收斂的充要條件是：數(shù)列{an}的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂且極限相等。推論（保號(hào)性），若，則對(duì)于滿足0ηa(aη0)的任何常數(shù)η，存在N，當(dāng)nN時(shí)，都有anη0(anη0)。該推論是判斷數(shù)列{an}發(fā)散的一個(gè)簡(jiǎn)單有效的辦法。性質(zhì)3（有界性）數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列，即存在某正常數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，都有。性質(zhì)2 改變數(shù)列的有限項(xiàng)，不改變數(shù)列的收斂性與極限。：，表明a的任何給定的ε鄰域中都含有數(shù)列{an}中除了有限項(xiàng)以外的全有項(xiàng)。一般說(shuō)，N是隨著ε的變小而變大，但并不是由ε唯一確定，因?yàn)榻o定ε，確定N，當(dāng)nN，有，則N+1，N+2，…同樣也符合要求。注意：1. ε的任意性，ε的作用在于衡量an與a的接近程度，從而限制ε小于某一個(gè)正常數(shù)，不影響衡量an與a接近的程度，但不能限制大于某一個(gè)正常數(shù)，定義中的ε可用2ε、或ε2等本質(zhì)上是任意的正常數(shù)來(lái)替代，同樣也可把“”號(hào)換成“≤”號(hào)。 數(shù)列極限內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖兩個(gè)子列極限存在但不相等數(shù)列極限數(shù)列極限的定義用定義證明數(shù)列極限的方法直接證法間接證法收斂數(shù)列的性質(zhì)唯一性有界性不等式保號(hào)性四則運(yùn)算判斷數(shù)列收斂的準(zhǔn)則夾逼定理單調(diào)有界定理判斷數(shù)列發(fā)散的準(zhǔn)則有一個(gè)子列發(fā)散數(shù)列無(wú)界重要的數(shù)列極限(k0常數(shù))（|q|1常數(shù)）(a0常數(shù))167。然而從被求的式子構(gòu)成形式，啟發(fā)我們用微分中值定理解原式 .注：由于介于之間，當(dāng)時(shí)，根據(jù)夾逼定理知例47 .解原式 .注：此題也可用微分中值定理去求。當(dāng)充分小時(shí)，在上對(duì)應(yīng)用拉格朗日定理得，其中。解法二 .例44 設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，求.解 令,于是 ， 故 原式。八、雜題例43 若。例42 已知解 因?yàn)?。注：由是初等函?shù)表達(dá)式。解 由。七、關(guān)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)連續(xù)性的討論。例40 討論的間斷點(diǎn)，并指出類型。例39 討論的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。又所以是函數(shù)的第一類（可去）間斷點(diǎn)。例38 求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型。2．間斷點(diǎn)的討論如果初等函數(shù)，若在處沒(méi)有定義，但在一側(cè)或兩側(cè)有定義，則是間斷點(diǎn)，再根據(jù)在處左右極限來(lái)確定是第幾類間斷點(diǎn)。又在處連續(xù)，由歸結(jié)原則，（ii）當(dāng)時(shí)，由條件得是常值數(shù)列。證明：若對(duì)任何，都有，則為常值函數(shù)。令，得，由是上任意一點(diǎn)，故。例36 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，且對(duì)任何，存在相應(yīng)的，使得。證 由閉區(qū)間上連續(xù)，則在一定能取到最小值，最大值M，且值域,有又，于是。注：這里區(qū)間X可以是閉區(qū)間、開區(qū)間、半閉半開區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間。證，取有理數(shù)列, 根據(jù)條件有由于，在不等式（1）中，令，得。證取有理數(shù)列，使，由，根據(jù)歸結(jié)原則知。六、關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用和間斷點(diǎn)的討論。例31 討論極限.解 取取而不存在。于是，所以五、判斷函數(shù)極限不存在的方法。因?yàn)榇嬖冢撇怀鲈诘哪晨招泥徲騼?nèi)存在且在不知是否連續(xù)，所以。從而，得，注：求時(shí)不能用下述方法。于是。分析：這里表面上沒(méi)有字母常數(shù)，實(shí)際上 就是待求的字母常數(shù)。故。例27 試確定常數(shù)。例25 求，求常數(shù)a, b.解 令，于是原式，由，知分子當(dāng)時(shí)，是分母的同階無(wú)窮小量，所以.得原式。四、已知函數(shù)極限且函數(shù)表達(dá)式中含有字母常數(shù)，確定字母常數(shù)數(shù)值。注：這里用了公式。例24 用定義證明。有 ，當(dāng)時(shí)，成立不等式 .由根據(jù)夾逼定理知原式=.注：這里是的函數(shù)，是分段函數(shù)，即.4．利用定義證明函數(shù)極限的存在利用函數(shù)極限定義證明函數(shù)極限與利用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限存在完全類似，在這里我們就不再重復(fù)了，一般情況，能不用盡量不用。例22 求.解 .由，根據(jù)夾逼定理知，.例23 求.分析 本題雖然屬于型，但不能用洛必達(dá)法則，因?yàn)椴淮嬖?。事?shí)上，.因此，利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式可以求出某些函數(shù)極限，當(dāng)時(shí)，若 則例21 求.解 由于,，所以 .對(duì)于求時(shí)的函數(shù)極限，若用泰勒公式求極限，可令，變成求時(shí)的的函數(shù)極限，再利用上述的方法去解決。解 原式例20 求.無(wú)限循環(huán)，所以不能用洛必達(dá)法則.解 原式.2．利用泰勒公式求函數(shù)極限。例4 求.解 原式，由時(shí)，得原式 .例5