微積分學(xué)數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則(參考版)
2025-05-02 06:27本頁面
【正文】 。0( 1l i m ????? aann例 14 解 .) , ( ,lim 2121????????Zkaaaaaakn nknnn為正常數(shù)其中求?? },m a x { 21 則有記 naaaa ?? , 21 nn nn nknnn n kakaaaaaa ??????? ? ,1lim 故由夾逼定理得而 ???? nn k }.,m a x {lim 2121 kn nknnn aaaaaaa ?? ????????除最大的一個外 , 其余的均取為零 . 例 15 解 ).1( lim ????aan nn求 .11 , 1 nnnn xannxa nx ???? ?則令 , 11 , ,11lim , 1 有時當(dāng)所以因為 ???????? annnan ,111 ??? ann ,0 . }{ , ?nn xx 又從某一項開始單調(diào)減少數(shù)列從而 . }{ , }{ 收斂由收斂準(zhǔn)則可知數(shù)列有界故數(shù)列 nn xx ,lim11limlim1lim 1 nnnnnnnxannxax????????????????由 .0limlim ???????? nnnn anx得例 16 .1lim : ???? nn n證明 ,0 ),1( 0lim 有故因為 ????????aa n nn 0,)1(lim ????? nnn? ,1 ,1)1( , ,0 ?? ??????? nn nnNnN 即時當(dāng)故 , , ),( 1 必有時當(dāng)所以而 NnZnnn ??? ? , |1| ???n n .1l i m ???? nn n故 ???? 11n n證 例 17 ).0( 1lim : ????? aann證明證 , 1 1][ , 1 nn naana ????? 就有只要時當(dāng)及夾逼定理可知由 11lim ,1lim ?? ?????? nnn n)。 ,1( 0l i m ??????? Znaan nkn 。他的臨終遺言： “ 人總是要死的，但他們的業(yè)績永存。 柯西一生最大的錯誤是 “ 失落 ” 了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家 伽羅華與阿貝爾的開創(chuàng)性的論文手稿，致使群論晚問世近半 個世紀(jì)。 1838年他還被授予男爵封號。 柯西一生撰寫的數(shù)學(xué)論著有 800多種。 數(shù)學(xué)分析嚴(yán)謹(jǐn)化的工作一開始就產(chǎn)生了很大的影響。 他首先利用中值定理證明了微積分基本定理?？挛鲗? 定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性的工作。 1821年 柯西提出了極限定義的 ε 方法，把極限過程用不等式刻劃 出來，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)為現(xiàn)在教科書上所說的極限 定義或 ε － δ 定義?？挛髟跀?shù)學(xué)上的最大 貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立 了邏輯清晰的分析體系。 1815年獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大 獎， 1816年 3月被任命為巴黎科學(xué)院院士，同年 9月，被 任命為巴黎理工學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)教授。 1805－ 1810年，柯西考入巴黎理工學(xué)校，兩年后以 第一名的成績被巴黎橋梁公路學(xué)院錄取，畢業(yè)時獲該校 會考大獎。少年時代柯西的數(shù)學(xué)才華就頗受這兩 位大數(shù)學(xué)的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。 ], ,[],[ )1( 11 ??? ?? Zkbaba kkkk 0, ||lim )2( ????? kkk ab ) . ],[ || , ( 的長度為區(qū)間其中 kkkk baab ? , ], ,[ 且則存在唯一的實數(shù) ??? Zkbac kk .limlim cba kkkk ?? ??????3. 柯西收斂準(zhǔn)則 ?????? ) }{ ( lim 收斂即數(shù)列 nnn xax. || , , ,0 ,0 ?? ??????? nm xxNnmN 時當(dāng) 滿足此條件的數(shù)列 , 稱為 “ 柯西列 ” . 柯西準(zhǔn)則可寫為 : . }{ }{ 為柯西列收斂數(shù)列 nn xx ?? . } 131211 { 時發(fā)散的證明數(shù)列 n???? ?證 ,1 31211 nx n ????? ?記nnnxx nn 212111|| 2 ??????? ?由于 ,212 111 ??????? nnnnn ? , , , 21 0 均有時當(dāng)取何值則不論時故取 NnN ???02 21 || ????nn xx由柯西收斂準(zhǔn)則可知 , 該數(shù)列是發(fā)散的 . 例 6 , : Rx ??證明 . }2s i n2 2s i n2s i n { 2 收斂數(shù)列 nnxxx ??? ?證 , 2s i n2 2s i n2s i n 2 有記 Rxnxxxx nn ?????? ?mnnnmmxxnxnxx2s i n2)2s i n (2)1s i n ( ||21 ????????? ? ,2 12 12112 12 12 12 1 1121 nnmnmnn ??????? ???????? ????? ?? , , ],1[ l o g ,0 2 有時則當(dāng)取從而 NnmN ???? ?????? nnm xx 21 ||由柯西收斂準(zhǔn)則可知 , 該數(shù)列是收斂的 . 例 7 柯 西 (1789－ 1857) 業(yè)績永存的 數(shù)學(xué)大師 柯西 1789 年 8月 21日出生于巴黎。 設(shè)數(shù)列 { xn}, { yn}, { zn} 滿足下列關(guān)系 : (2) ,limlim azy nnnn ?? ??????則 ax nn ????lim(1) yn ? xn ? zn , n ? Z+ (或從某一項開始 ) 。 歐拉創(chuàng)用 a， b， c 表示三角形的三條邊，用 A， B， C 表示對應(yīng)的三個角 ( 1748 )；創(chuàng)用 ? 表示求和符號 ( 1755 )； 提倡用 ? 表示圓周率（ 1736）； 1727年用 e 表示自然對數(shù) 的底；還用 ?y 表示差分等等。 為了確定究竟誰對，歐拉用心算進(jìn)行了全部運算，準(zhǔn)確地 找出了錯誤。法國天文學(xué)家、物理學(xué)家阿 拉哥（ D. F. J. Arago， 1786－ 1853）說：“歐拉計算一點也不 費勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣。從 18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研 究工作。第二年又獲碩士學(xué)位。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。生前就出版了 560種論著，另有更多未 出版的論著。 12次獲巴黎科學(xué)院大獎（ 1738－ 1772年） 曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會、巴塞爾物理 數(shù)學(xué)會、巴
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