微積分學中輔助函數(shù)的構(gòu)造探索總結(jié)-展示頁
2025-04-01 08:16本頁面
【正文】 理證明：，存在在與之間，使得 ()成立(此即展開到一次冪的公式)．證明 只證明的情況(的情況類似可證，的情況顯然)，式()可改寫成 ()為了證明()式，只要作輔助函數(shù)，則，注意到，兩次應用柯西中值定理，則 () ()證畢．[8] 設函數(shù)在上可微，且當時， ，求證：．證明 問題在于證明 ()利用參數(shù)變易法構(gòu)造輔助函數(shù)，利用柯西中值定理，可得()式左端()()．[9] 設函數(shù)在()上連續(xù)，在內(nèi)可導，則存在，使得 ．證明 利用參數(shù)變易法構(gòu)造輔助函數(shù)，顯然它在上與一起滿足柯西中值定理條件，于是存在，使得從而有 ．[12] 設在上連續(xù)，且，求證： ．證明 作輔助函數(shù)，則，且所以單調(diào)上升，所以對，有，即．[8] 設在上連續(xù)，且，使對，有，則，．證明 利用參數(shù)變易法構(gòu)造輔助函數(shù)，則所以 ，即，又 ，所以，．[13] 設在上連續(xù)，且對在上連續(xù)，且，都有，求證：，．證明 作輔助函數(shù) ，則在上連續(xù)，且，(只需證，即)，由已知，所以所以，即，從而即為常數(shù)．[14] 設在上可微，且滿足，求證：在內(nèi)至少有一點，使．證明 由所要證明的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合已知條件，探尋恰當?shù)妮o助函數(shù)，將 變形為，利用原函數(shù)法可得到輔助函數(shù)，因為，由積分中值定理可知，至少存在一點，使得．又對于，有，所以．由羅爾定理知，至少存在一點，使，即．4. 結(jié)束語輔助函數(shù)的構(gòu)造在數(shù)學分析中一直占有重要地位，尤其是在微積分學中，構(gòu)造輔助函數(shù)解題得到了廣泛的應用．輔助函數(shù)的構(gòu)造是我們解決問題的重要工具，對它的研究從沒中斷過，眾多數(shù)學工作者對微積分學中輔助函數(shù)的構(gòu)造做了很多研究，也取得了很多學術(shù)成果．本文從構(gòu)造輔助函數(shù)的基本概念入手，總結(jié)了幾種輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，對其在微積分學中的應用做了大量的問題舉例，同時也體現(xiàn)出了構(gòu)造輔助函數(shù)解決問題對培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維能力的重要作用．參考文獻[1] 劉立山，[M].北京：中國科學技術(shù)出版社，2005：6371，87139.[2] (第五版)[M].北京：高等教育出版社，2002：126132.[3] [J].消費導刊，2008(14)：163165.[4] 呂書強，[J]．平頂山工學院學報，2002，11(3)：8687．[5] “積分輔助函數(shù)法”[J].高等數(shù)學研究，2003，6(4)：2931.[6] [M].北京：中國人民大學出版社，1988：144150.[7] 徐利治，[M].北京：高等教育出版社，1983.[8] [M].北京：高等教育出版社，2006：206222.[9] (上冊)[M].北京：高等教育出版社，2001：119127.
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