[理學]七、多元函數(shù)積分學-展示頁
2024-09-02 16:26本頁面
【正文】 （三）．在極坐標系中化二重積分為累次積分 在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區(qū)域的不同類型，也有幾種常用的模型。 則 關于二重積分的計算主要根據(jù)模型或模型把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復雜的區(qū)域，如果既不符合模型中關于的要求，又不符合模型中關于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合模型或模型中關于區(qū)域的要求，利用二重積分性質，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算。 定理4．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于直線對稱，則 若，分別為在的上方與下方部分，則 （二）．在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題 模型：設有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 定理2．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于軸對稱，則 其中為在軸的右半平面部分。 （6） （7）積分中值定理 設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 當封閉曲面它在平面上的投影區(qū)域為，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區(qū)域的體積為 3．基本性質 （1）（為常數(shù)） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊。 如果在上是有限片上的連續(xù)函數(shù)，則在上是可積的。七、 多元函數(shù)積分學167。7．1 二重積分A 內容要點（一）．二重積分的概念與性質 1．定義 設是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對任意分割為個小區(qū)域對小區(qū)域上任意取一點都有 存在，（其中又表示為小區(qū)域的面積，為小區(qū)域的直徑，而） 則稱這個極限值為在區(qū)域上的二重積分 記以，這時就稱在上可積。 2．幾何意義 當為閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且，則二重積分表示以曲面為頂，側面以的邊界曲線為準線，母線平行于軸的曲頂柱體的體積。 （4）若，則 （5）若，則 其中為區(qū)域的面積。 4．對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質 定理1．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于軸對稱，則 其中為在軸的上半平面部分。 定理3．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于原點對稱，則 其中為的上半平面或右半平面。 則 模型：設有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 在直角坐標系中，兩種不同順序的累次積分的互相轉化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域，然后根據(jù)再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。 模型：設有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 （四）．二重積分在幾何上的應用 1．空間物體的體積 其中為閉曲面在平面上投影區(qū)域為上半曲面，為下半曲面。 解： 例2．計算其中是以，和為邊的平行四邊形區(qū)域。 例4．計算 例5．計算 例6．計算，其中由，和軸所圍區(qū)域。（二）．極坐標系中二重積分的計算 例1．計算其中由與軸圍成上半圓區(qū)域。 按另一積分順序把二重積分化累次積分 原式 例2．交換的積分順序 例3．交換的積分順序 例4．交換的積分順序 例5．交換的積分順序（四）．二重積分在幾何上的應用 1．求空間物體的體積 例1．求兩個底半徑為的正交圓柱面所圍立體的體積 答案： 例2．求球面和圓柱面所圍（包含原點那一部分）的體積 解：根據(jù)對稱性可知 其中為平面上與軸所圍平面區(qū)域用極坐標系進行計算 例3．求曲面，所圍立體的體積。7．2 三重積分（數(shù)學一）A 內容要點
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