[理學]七、多元函數積分學(已修改)
2025-08-30 16:26 本頁面
【正文】 七、 多元函數積分學167。7．1 二重積分A 內容要點（一）．二重積分的概念與性質 1．定義 設是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數，如果對任意分割為個小區(qū)域對小區(qū)域上任意取一點都有 存在，（其中又表示為小區(qū)域的面積，為小區(qū)域的直徑，而） 則稱這個極限值為在區(qū)域上的二重積分 記以，這時就稱在上可積。 如果在上是有限片上的連續(xù)函數，則在上是可積的。 2．幾何意義 當為閉區(qū)域上的連續(xù)函數，且，則二重積分表示以曲面為頂，側面以的邊界曲線為準線，母線平行于軸的曲頂柱體的體積。 當封閉曲面它在平面上的投影區(qū)域為，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區(qū)域的體積為 3．基本性質 （1）（為常數） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊。 （4）若，則 （5）若，則 其中為區(qū)域的面積。 （6） （7）積分中值定理 設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 4．對稱區(qū)域上奇偶函數的積分性質 定理1．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于軸對稱，則 其中為在軸的上半平面部分。 定理2．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于軸對稱，則 其中為在軸的右半平面部分。 定理3．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于原點對稱，則 其中為的上半平面或右半平面。 定理4．設在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關于直線對稱，則 若，分別為在的上方與下方部分，則 （二）．在直角坐標系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題 模型：設有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 模型：設有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 關于二重積分的計算主要根據模型或模型把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復雜的區(qū)域，如果既不符合模型中關于的要求，又不符合模型中關于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合模型或模型中關于區(qū)域的要求，利用二重積分性質，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算。 在直角坐標系中，兩種不同順序的累次積分的互相轉化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域，然后根據再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。（三）．在極坐標系中化二重積分為累次積分 在極坐標系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區(qū)域的不同類型，也有幾種常用的模型。 模型：設有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 （四）．二重積分在幾何上的應用 1．空間物體的體積 其中為閉曲面在平面上投影區(qū)域為上半曲面，為下半曲面。 2．空間曲面的面積 其中為曲面在平面上投影，曲面的方程B 典型例題（一）．直角坐標系中二重積分的計算 例1．計算，其中是由曲線，所圍區(qū)域。 解： 例2．計算其中是以，和為邊的平行四邊形區(qū)域。 例3．計算其中是由擺線，的第一拱和軸所圍區(qū)域。 例4．計算 例5．計算 例6．計算，其中由，和軸所圍區(qū)域。 例7．計算其中由和所圍區(qū)域。（二）．極坐標系中二重積分的計算 例1．計算其中由與軸圍成上半圓區(qū)域。 解：在極坐標系里， （三）．交換積分順序 例1．交換的積分順序 解：原式 其中由，和所圍的區(qū)域。 按另一積分順序把二重積分化累次積分 原式 例2．交換的積分順
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