[理學(xué)]七、多元函數(shù)積分學(xué)(編輯修改稿)
2025-09-14 16:26 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （這里又表示第段曲線的弧長，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分，也稱為對弧長的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，也記以 2．參數(shù)計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程，， 則 （假設(shè)和，皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來進行計算。（二）．第二類曲線積分（對坐標的曲線積分） 1．定義 平面情形：設(shè)平面一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)和皆在上有定義，把任意分成段，在上起點坐標為，終點坐標為（按的定向決定起點和終點）令， ，再在上任取一點，考慮極限 其中仍然是段弧長中的最大值，如果對任意分割，任意取點，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為和對曲線的第二類曲線積分，也稱對坐標的曲線積分，記以 第二類曲線積分有時也用向量形式表示，這時向量 ，用向量點乘概念 另外，平面曲線是封閉曲線時，它的定向用逆時針方向或順時針方向加以指明。 空間情形：設(shè)空間一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)，在上皆有定義，把任意分成段，在上起點坐標為，終點坐標（按的定向決定起點和終點）令，，再在上任意一點考慮極限 其中仍是段弧長中最大值，如果對任意分割，任意取點，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為，和對空間曲線的第二類曲線積分，也稱對坐標的曲線積分，記以 它的向量形式為 其中 如果是空間封閉曲線也要說明的定向，在空間不能簡單地說逆時針方向或順時針方針，必須用其他方式加以說明。 2．參數(shù)計算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間有向曲線的參數(shù)方程，，起點對應(yīng)參數(shù)為，終點對應(yīng)參數(shù)為（注意：現(xiàn)在和的大小不一定）如果，皆連續(xù)，又，也都連續(xù)，則 這樣把曲線積分化為定積分來計算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個負號，而第一類曲線積分的值與定向無關(guān)，故曲線不考慮定向。（三）．兩類曲線積分之間的關(guān)系 1．平面情形 設(shè)平面上一個逐段光滑有定向的曲線，在上連續(xù)，則 其中，為曲線弧在點處沿定向到方向的切線的方向余弦。 2．空間情形 設(shè)為空間一條逐段光滑有定向的曲線，，在上連續(xù)，則 其中，為曲線弧上點處沿定向到方向的切線的方向余弦。（四）．格林公式 關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系有一個十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。 定理1．（單連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域由一條逐段光滑閉曲線所圍成的單連通區(qū)域。當沿正定向移動時區(qū)域在的左邊，函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 定理2．（多連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域是連通區(qū)域（也即有個“洞”），它的邊界，其中的定向為逆時針方向，定向皆為順時針方向，仍符合沿的正定向移動時區(qū)域在它的左邊這個原則。 函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 （五）．平面上第二類曲線積分與路徑無關(guān)的幾個等價條件 設(shè)的分量，在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾條彼此等價。 1．對內(nèi)任意一條逐段光滑閉曲線，都有 2．任意在內(nèi)，則只依賴于起點和終點，與曲線的取法無關(guān)，稱為曲線積分與路徑無關(guān)。 3．成立。 4．內(nèi)處處有成立。 5．向量場是有勢場，即存在二元函數(shù)，具有，稱為勢函數(shù)，具有。 B 典型例題（一）、用參數(shù)公式直接計算 例．計算曲線積分 其中是曲線，從軸正向往負向看的方向是順時針方向。 解：曲線是圓柱面和平面的交線，是一個橢圓周，它的參數(shù)方程（不是唯一的選法）最簡單可取，，根據(jù)題意規(guī)定的定向，則從變到，于是 （二）、用格林公式等性質(zhì)來計算曲線積分 例1．求，其中，為正的常數(shù)，為從點沿曲線到點的弧 解一：用格林公式，但不是封閉曲線，故補上一段，它為從沿到的有向直線。這樣構(gòu)成封閉曲線，為逆時針方向 于是 ， 令 ，根據(jù)格林公式 這里為由和圍成的上半圓區(qū)域。 另外，在上，，故 于是 解二：我們把所給曲線積分拆成兩項 在中，由于，故積分與路徑無關(guān) 又看出 因此 而在中，取的參數(shù)方程，從0到 于是
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