多元函數(shù)微積分word版(編輯修改稿)
2024-09-17 19:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 元函數(shù)對x和對y的偏增量，而右端分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏微分. 在實際問題中，有時需要研究多元函數(shù)中各個自變量都取得增量時因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問題. 下面以二元函數(shù)為例進行討論.如果函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的任意一點，則稱為函數(shù)在點P對應(yīng)于自變量增量的全增量，記為，即 () 一般來說，計算全增量比較復(fù)雜. 與一元函數(shù)的情形類似，我們也希望利用關(guān)于自變量增量的線性函數(shù)來近似地代替函數(shù)的全增量，由此引入關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義. 一、 微分的定義定義1 如果函數(shù)在點的全增量可以表示為 ()其中A,B不依賴于而僅與x, y有關(guān),則稱函數(shù)在點可微分, 稱為函數(shù)在點的全微分, 記為 即. ()若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1 (必要條件) 如果函數(shù)在點處可微分, 則該函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)必存在, 且在點處的全微分. ()我們知道，一元函數(shù)在某點可導(dǎo)是在該點可微的充分必要條件. 但對于多元函數(shù)則不然. 定理1 的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件. 由此可見，對于多元函數(shù)而言，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況. 但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性. 一般地，我們有：定理2 (充分條件) 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù), 則函數(shù)在該點處可微分.三、 微分的計算習(xí)慣上，常將自變量的增量、分別記為、并分別稱為自變量的微分. 這樣，函數(shù)的全微分就表為 ()上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去. 例如，三元函數(shù)的全微分可表為 () 教學(xué)組織(含課堂教學(xué)方法、 輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等)：課后留十分鐘給學(xué)生問問題，解決學(xué)生提出來的難題。作業(yè)布置： 習(xí)題 64 第1（1）（3）、4題。本次課推薦和參考文獻 夏建業(yè)，《微積分》，蘭州大學(xué)出版社，2004年趙樹嫄，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社，2004年馬志敏，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》，中山大學(xué)出版社，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學(xué)生較容易理解、掌握，效果不錯。第5次課 2學(xué)時本次課教學(xué)重點： 多元復(fù)合函數(shù)微分法、全微分形式的不變性、隱函數(shù)微分法。本次課教學(xué)難點： 多元復(fù)合函數(shù)微分法、全微分形式的不變性、隱函數(shù)微分法。本次課教學(xué)內(nèi)容：第六章 多元函數(shù)微積分第五節(jié) 復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、 多元復(fù)合函數(shù)微分法 1．復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù),構(gòu)成復(fù)合函數(shù) （）公式()： 復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形 設(shè)構(gòu)成復(fù)合函數(shù) () ()如下圖所示：復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3 如果函數(shù)在點具有對及對的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 () ()注：這里與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)中的看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù)，是把函數(shù)中的及看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù). 與也有類似的區(qū)別. 在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，常采用以下記號: 這里下標1表示對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)，下標2表示對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)，同理有 等等. 二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則，可得到重要的全微分形式不變性. 以二元函數(shù)為例，設(shè), 是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈式法則，有由此可見，盡管現(xiàn)在的u、v是中間變量，但全微分與、是自變量時的表達式在形式上完全一致. 這個性質(zhì)稱為全微分形式不變性. 適當應(yīng)用這個性質(zhì)，會收到很好的效果. 三、 隱函數(shù)微分法 在一元微分學(xué)中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程 ()來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法. 這里將進一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性，并通過多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) 它滿足 并有 ()定理5 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且則方程在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù), 它滿足條件,并有 ()教學(xué)組織(含課堂教學(xué)方法、 輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等)：課后留十分鐘給學(xué)生問問題，解決學(xué)生提出來的難題。作業(yè)布置： 習(xí)題 65 第9（1）、120題。本次課推薦和參考文獻 夏建業(yè)，《微積分》，蘭州大學(xué)出版社，2004年趙樹嫄
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