復(fù)變函數(shù)的積分word版(編輯修改稿)
2025-09-17 19:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 O到1+ i的直線段；（2） 拋物線 y= 上由O到1+i 的弧段；（3） 連接O到1再到1+ i 的折線，.解 （1）積分路徑的參數(shù)方程為z(t)=t+it(0)，于是 Re z=t,dz=(1+i)dt ，因此. （2） 積分路徑的參數(shù)方程為 z(t) =t+i(0) 于是Re z=t,dz=(1+2it)dt ，因此， =（3）積分路徑由兩條直線段構(gòu)成，由x軸上O到1的線段其參數(shù)方程為z=t(0)，此時(shí)Re z=t,dz=dt；由1到1+i的線段的參數(shù)為z=1+it(0)，此時(shí)dz=idt,Rez=1，因此. =注：此積分與積分路徑有關(guān).例2 已知f(z)=，計(jì)算 其中：沿實(shí)軸從1到0，再沿虛軸由0到i；：沿x+y=1從1到i，解 令=+，其中 :z(t)=1t,0,dz=dt。:z(t)=it, =idt從而得 而:z(t)=t+(1t)i，0,dz=(1i)dt，所以==(1—i)()=例2中的兩個(gè)積分具有相同的被積函數(shù)，以及積分曲線的起點(diǎn)，終點(diǎn)，盡管積分曲線的路徑各不相同，但積分結(jié)果卻相同，這說(shuō)明有些函數(shù)的積分值可能與路徑無(wú)關(guān).例3，已知f(z)=，n是整數(shù)，求的值，其中C為以a為中心r為半徑的圓周.解 圓周C可表為 z=a+r,由此 dz=ri所以 當(dāng)n=1時(shí)， 當(dāng)n時(shí)，注意：此積分值與圓周半徑無(wú)關(guān).例6 求積分的值，其中積分路徑C是連接0到的擺線：x=a(sina),y=a(1cos)分析 若用復(fù)積分公式求積分的值，則應(yīng)先寫出C的參數(shù)方程:z=z()=a(sin)+ia(1cos)確定起點(diǎn)參數(shù)=0，終點(diǎn)參數(shù)=2，然后用公式:，計(jì)算定積分即可，但是，只要注意到被積函數(shù)f+8z+1在復(fù)平面內(nèi)處處解析，積分與路徑無(wú)關(guān)，我們可用復(fù)積分的牛頓—萊布尼茨公式做簡(jiǎn)單計(jì)算. 解 例7計(jì)算積分，其中C為正向圓周|z|=a0解，=顯然函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，由柯西積分定理，而，故.=0注：此題若用復(fù)積分計(jì)算公式求積分值，則運(yùn)
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