多元函數(shù)微積分word版(參考版)
2024-09-01 19:47本頁面
【正文】 第六章 多元函數(shù)微積分 第 43 頁 共 43 頁。作業(yè)布置： 習(xí)題 69 第3（1）（3）、4（2）（4）、5（2）（4）（6）、7題。本次課教學(xué)難點： 利用極坐標(biāo)系計算二重積分、二重積分化為二次積分的公式。本次課推薦和參考文獻(xiàn) 夏建業(yè)，《微積分》，蘭州大學(xué)出版社，2004年趙樹嫄，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社，2004年馬志敏，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》，中山大學(xué)出版社，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學(xué)生較容易理解、掌握，效果不錯。（2）根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限（3） 寫出結(jié)果四、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對稱性，常會大大化簡二重積分的計算. 在例5中我們就應(yīng)用了對稱性來解決所給的問題. 如同在處理關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的奇（偶）函數(shù)的定積分一樣，在利用這一方法時，要同時兼顧到被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域D的對稱性兩方面. 為應(yīng)用方便，我們總結(jié)如下：1. 如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，則(1) 當(dāng)時，有.(2) 當(dāng)時，有其中2．如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，則(1) 當(dāng)時，有.(2) 當(dāng)時，有其中注：進(jìn)一步，我們還可給出積分區(qū)域D關(guān)于原點對稱和關(guān)于直線對稱的情況（見光盤）.例7 計算其中積分區(qū)域由曲線與所圍成.解 令如右圖： 因為D關(guān)于軸對稱，且 故 因此 教學(xué)組織(含課堂教學(xué)方法、 輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等)：課后留十分鐘給學(xué)生問問題，解決學(xué)生提出來的難題。本次課教學(xué)難點： 區(qū)域分類、二重積分的計算。本次課推薦和參考文獻(xiàn) 夏建業(yè)，《微積分》，蘭州大學(xué)出版社，2004年趙樹嫄，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社，2004年馬志敏，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》，中山大學(xué)出版社，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學(xué)生較容易理解、掌握，效果不錯。(2) 根據(jù)定義，如果函數(shù)在區(qū)域上可積，則二重積分的值與對積分區(qū)域的分割方法無關(guān)，因此，在直角坐標(biāo)系中，常用平行于軸和軸的兩組直線來分割積分區(qū)域，則除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，于是. 故在直角坐標(biāo)系中，面積微元可記為. 即.進(jìn)而把二重積分記為，這里我們把稱為直角坐標(biāo)系下的面積微元. 二、 二重積分的性質(zhì)類似于一元函數(shù)的定積分，二重積分也有與定積分類似性質(zhì)，且其證明也與定積分性質(zhì)的證明類似.教學(xué)組織(含課堂教學(xué)方法、 輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等)：課后留十分鐘給學(xué)生問問題，解決學(xué)生提出來的難題。本次課教學(xué)難點： 二重積分的概念。本次課推薦和參考文獻(xiàn) 夏建業(yè)，《微積分》，蘭州大學(xué)出版社，2004年趙樹嫄，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社，2004年馬志敏，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》，中山大學(xué)出版社，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學(xué)生較容易理解、掌握，效果不錯。(2) 由方程組解出, 其中x, y就是所求條件極值的可能的極值點.注：拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件, 因此按照這種方法求出來的點是否為極值點, 還需要加以討論. 不過在實際問題中, 往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點.拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形:教學(xué)組織(含課堂教學(xué)方法、 輔助手段、師生互動、時間分配、板書設(shè)計、重點如何突出，難點如何解決等)：課后留十分鐘給學(xué)生問問題，解決學(xué)生提出來的難題。 （2）求在的邊界上的最大值和最小值。 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理1 (必要條件) 設(shè)函數(shù)在點具有偏導(dǎo)數(shù), 且在點處有極值, 則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零，即 ()與一元函數(shù)的情形類似，對于多元函數(shù)，凡是能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點稱為函數(shù)的駐點.定理2 (充分條件) 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又令(1) 當(dāng)時，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時有極小值；時有極大值；(2) 當(dāng)時，函數(shù)在處沒有極值。本次課教學(xué)難點： 二元函數(shù)的最大值與最小值、條件極值拉格朗日乘數(shù)法。本次課推薦和參考文獻(xiàn) 夏建業(yè)，《微積分》，蘭州大學(xué)出版社，2004年趙樹嫄，《微積分》，中國人民大學(xué)出版社，2004年馬志敏，《高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)》，中山大學(xué)出版社，2004年課后自我總結(jié)分析：理論和實例講解結(jié)合較好，深入淺出，圖形結(jié)合，學(xué)生較容易理解、掌握，效果不錯。本次課教學(xué)內(nèi)容：第六章 多元函數(shù)微積分第五節(jié) 復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、 多元復(fù)合函數(shù)微分法 1．復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù),構(gòu)成復(fù)合函數(shù) （）公式()： 復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形 設(shè)構(gòu)成復(fù)合函數(shù) () ()如下圖所示：復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3 如果函數(shù)在點具有對及對的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)在點可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)
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