中值定理證明題20xx(編輯修改稿)
2025-08-22 00:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ) ) | 0xx f x ???? ?設(shè)輔助函數(shù) ( ) s i n ( )x x f x? ?? (0) 0 ,? ?(1 ) s i n 1 (1 ) ,f? ??? ( ) s in ( ) ( ) .2 2 2 2ff? ? ? ?? ??? ? ?( 0 ) 0 ,f ?由 ( ) 1.2f? ?(1) 3,f ? 知存在最大值點(diǎn) ( ) 0 .f ?? ?則由費(fèi)馬引理得 ( ) s i n ( ) 0 .f? ? ? ??? =從 而,( 0) []x? ? 上 滿 足 羅 爾 定在 理 的 條 件 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 5. 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù) ， 在 內(nèi)二階可 )(xf[0, ]2? (0, )2?導(dǎo)，且 ( 0 ) 0 ,f ? ( ) 1.2f? ?證明：至少存在一點(diǎn) ，使得 (0, )2?? ?c o s ( ) s i n ( ) 0 .ff? ? ? ?? ????(1) 3,f ?( sin ( ) ) | 0xx f x ???? ?設(shè)輔助函數(shù) ( ) s i n ( )x x f x? ?? ，(0) 0 ,? ?( 0 ) 0 ,f ?由 ( ) 1.2f? ?(1) 3,f ? 知存在最大值點(diǎn) ( ) 0 .f ?? ?則由費(fèi)馬引理得 ( ) s i n ( ) 0 .f? ? ? ??? =從 而,( 0) []x? ? 上 滿 足 羅 爾 定在 理 的 條 件 .證 : 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 上 滿 足 羅 爾 定在 理 的 條 件至少存在一點(diǎn) ( ) 0 .??? ?使 得 c o s ( ) s i n ( ) 0 .ff? ? ? ?? ????即目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) ,函數(shù) 在 上連續(xù) ,在 內(nèi)可導(dǎo) , 0 ab?? ()fx [ , ]ab ( , )ab試證在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 成立 . ( , )ab ,?( ) ( ) ( ) l n bf b f a f a?????分析： 將所證等式變形為 或 ( ) ( ) ( )ln ln 1f b f a fba???? ??? ?( ) ( ) ( ),ln ln lnxf b f a f xba x????? ??可見(jiàn)，應(yīng)對(duì) 與 在 上應(yīng)用 ()fx lnx [ , ]ab證明 : 設(shè) 由題設(shè)知 , 與 在 上滿足 ( ) ln ,g x x? ()fx ()gx [ , ]ab柯西中值定理的條件。由柯西中值定理可知， 柯西中值定理 . P182 8 例 6. 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 總結(jié)：利用中值定理證明相關(guān)命題，關(guān)鍵是根據(jù)題目的特點(diǎn)，尋找合適的定理及相應(yīng)的輔助函數(shù)。步驟如下： （ 1） 構(gòu)造輔助函數(shù)； （ 2）確定區(qū)間； （ 3）驗(yàn)證定理?xiàng)l件。 亦即 ( ) ( ) ( ) ln .bf b f a fa?? ???( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) ( )f b f a fg b g a g???? ???在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使 ( , )ab ?( ) ( ) ( )l n l n 1f b f a fba???? ??即 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 7. 設(shè) 在 上可導(dǎo) , 且 證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 證 : 設(shè) )(e)( xfx x??則 ])()([e)( xfxfx x ????? 0?故 在 上連續(xù)單調(diào)遞增 , 從而至多只有 一個(gè)零點(diǎn) . 又因 ,0e ?x 因此 )(xf 也 至多只有一個(gè)零點(diǎn) . 思考 : 若題中 改為 ,0)()( ??? xfxf其他不變時(shí) , 如何設(shè)輔助函數(shù) ? )(e)( xfx x???目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 8. 設(shè) 在 上 存在 , 且單調(diào) 遞減 , 有 證 : 設(shè) ,)()()()( xfafxafx ????? 則 )()()( xfxafx ???????所以當(dāng) 令 ,bx ? 得 即所證不等式成立 . 證明對(duì)一切 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .)()()( ,0,0 ,0)0(,0)( 212121xfxfxxfxxfxf??????????有證明設(shè)例 9’ 證 210 xx ??不妨設(shè) )()()( 1221 xfxfxxf ???因?yàn)?2 )( xf ???0))(( 121 ????? ???fx).()()( 2121 xfxfxxf ???所以)( 21 ??? ??目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 10. ? ?2 2 224l n l n .e a b e b a b ae? ? ? ? ? ?設(shè) , 證 明? ?22 24( ) l n l n ,f x x a x ae? ? ? ?令22( ) [ , ] ( ) ( , )f x a e f x a e則 在 上 連 續(xù) ， 在 內(nèi) 可 導(dǎo) ,且22 l n 4( ) ,xfxx e? ??22 ( 1 l n )() xfxx??? ?2, ( ) ( ) 0 .f x f e????2( , ) , ( ) .x a e f x???當(dāng) 時(shí) 單 調(diào) 遞 減證明 ： ( ) 0,fa ?22222 l n 4() efeee? ??0,?22 ( 1 ln )ex??22 (1 1 )=x? =0從而 f(x)在 內(nèi)單調(diào)增加 ? 2[ , ]ae因此當(dāng) 時(shí) ? f(b) ? f(a)?0? 2a b e??2224ln ln ( ) .b a
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