矩陣變換在求多項(xiàng)式最大公因式中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-13 03:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 只有兩個多項(xiàng)式 ,因此我們可以 6 用多種方法來進(jìn)行求解 ,在此給出 3 種方法進(jìn)行求解 ,分別是 [10]； 2.等效 矩陣 變換法 [4]； [2][6]. 解法一 (輾轉(zhuǎn)相除法 [10])： 對于 )(xf 和 )(xg 施行輾轉(zhuǎn)相除法 .為了避免分?jǐn)?shù)系數(shù) ,在做除法是 ,可以用數(shù)域 F 的一個不等于零的數(shù)乘以被除式或除式 .而且不僅在每一次除法開始時可以這樣做 ， 這樣商式會受到影響 ,但每次求得的余式與正確的余式只差一個零次因式 ， 對求最大公因式來說是沒有什么關(guān)系的 . 把 )(xf 先乘以 2,再用 )(xg 來除 ,結(jié)果參見 表 11： 表 11 68842 234 ???? xxxx 3452 23 ??? xxx xxxx 3452 234 ??? 1?x 654 23 ??? xxx （乘以 2） 121082 23 ??? xxx 3452 23 ??? xxx 15143 2 ??? xx 這樣 ,我們得到第一余式 : 15143)( 21 ???? xxxr 把 )(xg 乘以 3,再用 )(1xr 去除 ,結(jié)果參見 表 222： 表 22 912156 223 ??? xxx 15143 2 ??? xx xxx 30286 23 ?? 132 ?? x 94213 2 ?? xx （乘以 3） 2712639 2 ?? xx 19518239 2 ?? xx 16856 ?x 約去公因子 56 后 ,得到第二余式 : 7 3)(2 ??xxr 再以 )(2xr 除 )(1xr 得 .計算結(jié)果 )(1xr 被 )(2xr 整除 ： )53)(3(15143 2 ??????? xxxx 所以 , )(2xr 就是 )(xf 和 )(xg 的最大公因式 ： 3))(),(( ?? xxgxf . 解法二 (等效 矩陣 變換法 [4])： 首先做等效矩陣 A ???????? ?? ????? 34520 34421))(),(( xgxfmA ???????? ?? ??? 34520 34421 ( 1 ) ( 2 ) 1 0 9 0 00 2 5 4 3? ??????? ??????1 0 9 02 5 4 3??????? ??????等 效 于 ( 2 ) ( 1 ) 2 1 0 9 00 5 1 4 3?? ???????? ?????1 0 95 1 4 3??????? ?????等 效 于 ???????? ????? ?? ?? 3145 042143)2()1( ?????? ????? ?? ?? 310 04214145)1()2( 1 4 4 213??????? ?????等 效 于 ???????????? ?? ?? 31 0014)2()1( 0013?????? ?????等 效 于 所以 )(xf 和 )(xg 的最大公因式 ： 3))(),(()( ??? xxgxfxd 解法三 (矩陣初等變換法 [2][6])： ???????? ??? ????? 103452 01344 23 234 xxx xxxxA ???????? ??? ???? 103452 01344 23 234 xxx xxxx ???????? ??? ??????? ?? ??? 103452 2654 23 23)2(2)1( xxx xxxxx ???????? ????? ???????? ?? ??? 324894213 12415143 2222)1(3)2( xxxxx xxxx 8 ???????? ????? ???????? ?? ??? 43212522416856 12415143 2213)1(3)2( xxxx xxx ???????? ????? ?????? ?? ? 1831364214 12415143 2241)2( xxxx xxx???????? ????? ???????????? ?? ??? 1831364214 143124956391821070 2 2323)2(14)1( xxxx xxxxxxx ???????? ????? ????????? ?? ?? 1831364214 999999180 2 2325)2()1( xxxx xxxxx ??????????????????????? ?? ??14174143141373311202232141)2(91)1(xxxxxxxxx； 所以 )(xf 和 )(xg 的最大公因式 為： 3))(),(()( ??? xxgxfxd 綜上可得出三種方法的優(yōu)缺點(diǎn) .首先 ,輾轉(zhuǎn)相除法是一般方法 ,是利用帶余除法一步一步計算得到的 ,而等效 矩陣 變換法在此題中求解速度得到了很大的提高 ,而且清晰易懂 ,不易出現(xiàn)錯誤 .而矩陣的初等變換 法 ,則是計算原理簡單 ,稍微有點(diǎn)麻煩 ,但是該方法最大的優(yōu)勢就是在求解最大公因式 )(xd 的同時一并將滿足)()()()()( xgxvxfxuxd ?? 的 )(xu , )xv 一次性求出來了 ,其中 141373)( ?? xxu , 14174143)( 2 ???? xxxv . 例 ： 求多項(xiàng)式組4321322323( ) 2 4 4 3( ) 2 5 4 3( ) 6 1 1 6f x x x x xf x x x xf x x x x? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??的最大公因式 . 分析： 此題求解的是 ))()()(( 321 xfxfxf ， ,即求三個多項(xiàng)式的最大公因式 ,此時若用輾轉(zhuǎn)相除法、 因式分解法 就非常的難了 ,所以最佳的選擇就是矩陣的初等變換法 ,等效矩陣變換法 . 解 法一 (矩陣初等變換法 [2][6])： ?????????????????????1006116010345200134422323234xxxxxxxxxxA ????????????????????? ??001344201034521006116234232313xxxxxxxxxxR 9 ??????????????????????????? ?? ??????xxxxxxxxxx0131015421015267100611623223)()1()3()2()1()2( ； ????????????????????????? ?? ????401213491006116210152672232)4()2()3(12xxxxxxxxR ???????????????????????????? ?? ?????7204262164012134921015267222)()1(7)3(23xxxxxxxxxxR ???????????????????????? ?? ??11162401213492101526722)]2()1[()3(xxxxxxxx 13 ( 2 ) ( 3 ) 222 6 1 1 12 8 6 1 1
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