有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解本科畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-19 07:39 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 都有著相同的整除性質(zhì)，之后考慮整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題.性質(zhì)1(高斯(Guass)引理) 設(shè)fx與gx為兩個(gè)本原多項(xiàng)式，那么他們的乘積hx=fx gx也是本原多項(xiàng)式.性質(zhì)2 設(shè)fx是非零整系數(shù)多項(xiàng)式，若fx分成為兩個(gè)有理數(shù)域上的多項(xiàng)式gx與hx的乘積，且?gx?fx,?hx?(fx)那么fx定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式乘積.例1：設(shè)fx, gx是兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，：若fx= gxhx，且hx是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式，那么hx一定是整系數(shù)多項(xiàng)式.證明：根據(jù)本原多項(xiàng)式的性質(zhì)來證明，設(shè)fx=af1x,hx=rh1x其中f1x,h1x都是本原多項(xiàng)式，a是整數(shù)，af1x= rg(x)h1x因?yàn)間(x)=177。a，即r是一個(gè)整數(shù)，所以hx=rh1x是整系數(shù)多項(xiàng)式.（四）判斷多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約性基于整系數(shù)多項(xiàng)式，我們需要判斷它是否可約，這是我們討論有理數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解的重點(diǎn)，接下來列出一些判別整系數(shù)多項(xiàng)式不可約的方法.(Eisentein) 判別法定理3 設(shè)fx=a0+a1x+…+anxn,an≠0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若找到一個(gè)素?cái)?shù)p，使⑴p與an不可約；⑵p與an1,an2,?,a0是可約的；⑶p2與a0不可約，那么多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上不可約.證明：如果a0=p1p2?pn,a1=a2=?=an1=0,an=1可找到素?cái)?shù)p1滿足p|ai,i=0,1,?n1, p1|an,p12|a0所以，根據(jù)愛森斯坦(Eisentein) 判別法可知，f(x)在有理數(shù)域上不可約[[] Wang P S，Veinberger B Multivariate of Rational Function Algerbraic Number Integers[J].Mathematisch of Computation，1979,29（131）:3239.].特別注意的是，愛森斯坦判別法的條件只是充分條件，即滿足三個(gè)條件的多項(xiàng)式不可約.如：多項(xiàng)式f(x)=2xn5x+10，滿足愛森斯坦判別法的三個(gè)條件，因?yàn)橛泻芏喽囗?xiàng)式不滿足上述三個(gè)條件但卻是不可約的，譬如x2+2.當(dāng)然，也有可約的多項(xiàng)式，如：x2+x6不滿足上述的三個(gè)條件，但卻可以分解為x2+x6=(x2)(x3)有時(shí)，對(duì)于某個(gè)多項(xiàng)式來說，愛森斯坦判別法不能直接應(yīng)用，且a≠0，整數(shù)系多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上不可約當(dāng)且僅當(dāng)f(ax+b)在有理數(shù)域上不可約[[] 張翠，[D].河南：洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，2008，29（7）：8383.].例2：證明f(x)=x6+x3+1在有理數(shù)域上不可約.證明：因?yàn)閒(x)的系數(shù)都是1，無法應(yīng)用愛森斯坦判別法.因此，我們令x = y + 1 并把其代入f(x)，則多項(xiàng)式變?yōu)椋▂+1)6+(y+1)3+1=y6+6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3=g(y)根據(jù)愛森斯坦判別法判別g(y)，取p=3，即證上式不可約，故而可知f(x)=x6+x3+1在有理數(shù)域上不可約.（Brown）判別法定理4 設(shè)f(x)為n次整系數(shù)多項(xiàng)式，令Sfx=?,f1,f0,f1,?其中N1表示 Sfx中1的個(gè)數(shù)，Np表示 Sfx質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，令Np+2 N1n+4，則fx在Q上不可約.例3：證明fx=2x3x2+x1在Q上不可約.證明：因?yàn)闊o法找到素?cái)?shù)p來判斷fx滿足愛森斯坦(Eisentein) 判別法的條件，因此我們無法根據(jù)愛森斯坦(Eisentein) 判別法來判別可約性，但是我們可以根據(jù)布朗（Brown）判別法判斷多項(xiàng)式的可約性.因此，我們可以得到：f0=1，f1=1，f1=5，f2=23，f3=47故而，Np≥4, N1≥2所以得到Np+2 N1≥83+4由此根據(jù)布朗（Brown）判別法可知，fx在有理數(shù)域上不可約.（Perron）判別法定理5 設(shè)fx=xn+an1xn1+?a1x+a0a0≠0,ai?Z,i=0,1,?,n1是整系數(shù)多項(xiàng)式，若此系數(shù)滿足an11+an2+an3+?a1+|a0|，則fx在有理數(shù)域上不可約.例4：證明fx=x5+4x4+x2+1在有理數(shù)域上不可約.證明：因?yàn)闊o法找到素?cái)?shù)p來判斷fx滿足愛森斯坦(Eisentein) 判別法的條件，因此我們不能用愛森斯坦(Eisentein) 判別法，但是我們可以看出多項(xiàng)式fx滿足佩龍（Perron）判別法的條件.因此根據(jù)佩龍（Perron）判別法定理以及題目得出41+1+1，所以該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約.(Kronecker)判別法定理6 設(shè)fx=anxn+an1xn1+?+a1x+a0是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，可以在有理數(shù)域上將fx分解成兩個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積.例5：證明fx=x5+1在有理數(shù)域上不可約.證明：s=2，取a0=1,a1=0,a2=1，則有f1=0，f0=1，f1=2因此，f1的因子為0，fx的因子為1，fx的因子為1,2故令g1=0， g0=1， g1=1； g1=0， g0=1， g1=2應(yīng)用插值多項(xiàng)式得g1x=0+(x+1)(x1)(0+1)(01)+(x+1)(x0)(1+1)(10)=12(x2x2)g2x=0+(x+1)(x1)(0+1)(01)+2(x+1)(x0)(1+x)(10)=x+1由帶余除法可知：g1x不能整除fx
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