淺析一元多項式最大公因式的求法及比較畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 19:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 項系數(shù)為1的那個最大公因式.由定義1和定義2我們很容易得到一種求多項式的最大公因式的方法—因式分解法.由定理1的證明過程我們找到另一種求多項式的最大公因式的方法—輾轉(zhuǎn)相除法.例1 求與的最大公因式：解 用輾轉(zhuǎn)相除法，得 用等式寫出來就是 故 而 于是，令 就有對于因式分解法，我們知道并不是所有的一元多項式都能因式分解，即使可以因式分解但分解的過程往往比較困難，故此方法并不理想.對于輾轉(zhuǎn)相除法，求得后再利用逐步代入法求得使得（1）式成立，但是當次數(shù)較高時，運用輾轉(zhuǎn)相法時顯得十分麻煩. 特別，在輾轉(zhuǎn)相除的過程中不能用一個非零的常數(shù)去乘以除式及被除式，增加了運算困難.于是我們提出這樣的問題：如何利用定義和定理，尋找到一種比較簡便可行的方法來求個多項式的最大公因式并找出，從而把表示成的一個組合，使得三 問題的解決 矩陣法1. 求兩個多項式的最大公因式令是兩個多項式，不妨設(shè)，用去除有，，再用去除有，，則也是可逆陣，依次做下去，由于在絕對遞減，，則.，則有. ②又由于，于是均可由表示，②得是的最大公因式.例2 求與的最大公因式，并求使的解 作除法，即再作除法，即 再作除法，即 則 且由于在第2列，所以的第2列即是.，使.注：通常要求為首一多項式，這只需將上述的除以的首項系數(shù)即可.2. 求3個多項式的最大公因式是3個多項式，用去除，有,即 .不妨設(shè)，再用去除和，有，即.繼續(xù)作下去，由于絕對遞減，必有某時中有一個不為零，則有，記，即均可由表示，.例3 求的最大公因式，并求使.解 最小，用去除，有即最小，再作除法，即 是最大公因式.取，有.3. 求個多項式的最大公因式是個多項式，用去除有即設(shè)（必是可逆陣） 不妨設(shè)，再用去除有即設(shè)（必是可逆陣）.繼續(xù)下去，由于絕對遞減，，設(shè)的第一列為，有，且均可由表示，. 矩陣的初等行（列）變換法在這里我們以初等列變換法為例（初等行變換法原理一樣）定理2 設(shè)則定理3 把中任意個多項式寫成矩陣形式，存在階方陣，使得其中，是的最大公因式.證明 對于存在最大公因式：且存在使得： 令于是有，對于存在最大公因式且存在使得： 令： .于是有如此繼續(xù)下去，將得到 又由定理2可知：故 這里只要令 定理得證. 證畢定理4 對于定理2中的，可以表示成有限個初等矩陣的乘積形式.證明 不妨對進行證明這個初等變換的過程可以寫成： 即：對于其它都可以表示成初等矩陣的乘積形式，所以可
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