淺談多項(xiàng)式因式分解的方法(編輯修改稿)
2025-05-06 02:46 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。解 原式== = = = =. 把轉(zhuǎn)化為 ，而不是其它形式，是為了在接下來(lái)的初等變換中，提出公因子。這種化為二階行列式進(jìn)行因式分解的方法技巧性較強(qiáng)，關(guān)鍵在于如何把原多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成恰當(dāng)?shù)亩A行列式，操作有點(diǎn)難度，不便通用。下面介紹一種比較一般的方法。對(duì)任意的一元n次多項(xiàng)式均可寫成n階行列式的形式在此基礎(chǔ)上，利用行列式性質(zhì)，通過(guò)降階和提取公因式的方法分解。例8 對(duì)多項(xiàng)式=進(jìn)行因式分解。解 =========.６ 利用單位根的性質(zhì)（參見文獻(xiàn)）復(fù)數(shù)1的n次根，即多項(xiàng)式的n個(gè)復(fù)根，稱為n次單位根。n次單位根是。單位根在復(fù)數(shù)域中有特殊的地位，具有許多獨(dú)特的性質(zhì)。下面我們利用它來(lái)求多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域或有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。例9 求在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解 因?yàn)?，所以先求在?shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。的8個(gè)單位根是，，，， ，其中是實(shí)根，其余都是虛根，與共軛，與共軛，與共軛。又由于，，，所以在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為=.從而得到在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為=.值得注意的是，利用單位根分解因式的方法局限性很大，僅適用于和在指定數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。７ 利用復(fù)根進(jìn)行分解（參見文獻(xiàn)）形如多項(xiàng)式，，在中的因式分解利用復(fù)根進(jìn)行分解。因?yàn)?，其中?的次單位根。又因?yàn)閷?shí)系數(shù)多項(xiàng)式復(fù)根共軛出現(xiàn)，而， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，均為根；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，只有1為根，即當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)時(shí)，有=；同理 ,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，無(wú)實(shí)根；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，只有1為根，即當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，=.例10 求出復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上的分解式。解 由=0得，則，＝，。即 ，，.所以復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域上的分解式分別為= =.８ 與首末兩項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等且最高次是偶數(shù)的多項(xiàng)式的因式分解方法（參見文獻(xiàn)）設(shè)多項(xiàng)=，把的各項(xiàng)除以，并轉(zhuǎn)化為方程得 ①再用換元法,令，，再將其代入①，求出、的值，再寫出的分解式。例11 在實(shí)數(shù)域上分解多項(xiàng)式.解 把多項(xiàng)式的各項(xiàng)除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程 .用換元法,令，有，代入得 ，即，解之得 .于是 或 ，解之得 ，， .所以 == .９ 與首末兩項(xiàng)等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等且最高次是奇數(shù)的多項(xiàng)式的因分解方法（參見文獻(xiàn)）這種多項(xiàng)式的特點(diǎn)是1是它們的根。設(shè)這種多項(xiàng)式為，=，再用方法八求出的分
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