淺談多項式因式分解的方法(編輯修改稿)
2025-05-06 02:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 項式進行因式分解。解 原式== = = = =. 把轉(zhuǎn)化為 ，而不是其它形式，是為了在接下來的初等變換中，提出公因子。這種化為二階行列式進行因式分解的方法技巧性較強，關鍵在于如何把原多項式轉(zhuǎn)化成恰當?shù)亩A行列式，操作有點難度，不便通用。下面介紹一種比較一般的方法。對任意的一元n次多項式均可寫成n階行列式的形式在此基礎上，利用行列式性質(zhì)，通過降階和提取公因式的方法分解。例8 對多項式=進行因式分解。解 =========.６ 利用單位根的性質(zhì)（參見文獻）復數(shù)1的n次根，即多項式的n個復根，稱為n次單位根。n次單位根是。單位根在復數(shù)域中有特殊的地位，具有許多獨特的性質(zhì)。下面我們利用它來求多項式在復數(shù)域、實數(shù)域或有理數(shù)域上的標準分解式。例9 求在實數(shù)域上的標準分解式。解 因為，所以先求在實數(shù)域上的標準分解式。的8個單位根是，，，， ，其中是實根，其余都是虛根，與共軛，與共軛，與共軛。又由于，，，所以在實數(shù)域上的標準分解式為=.從而得到在實數(shù)域上的標準分解式為=.值得注意的是，利用單位根分解因式的方法局限性很大，僅適用于和在指定數(shù)域上的標準分解式。７ 利用復根進行分解（參見文獻）形如多項式，，在中的因式分解利用復根進行分解。因為，其中為1的次單位根。又因為實系數(shù)多項式復根共軛出現(xiàn)，而， 當為偶數(shù)時，均為根；當為奇數(shù)時，只有1為根，即當時，=；當時，有=；同理 ,當為偶數(shù)時，無實根；當為奇數(shù)時，只有1為根，即當時，=，當時，=.例10 求出復數(shù)域、實數(shù)域上的分解式。解 由=0得，則，＝，。即 ，，.所以復數(shù)域、實數(shù)域上的分解式分別為= =.８ 與首末兩項等距離的項的系數(shù)相等且最高次是偶數(shù)的多項式的因式分解方法（參見文獻）設多項=，把的各項除以，并轉(zhuǎn)化為方程得 ?、僭儆脫Q元法,令，，再將其代入①，求出、的值，再寫出的分解式。例11 在實數(shù)域上分解多項式.解 把多項式的各項除以，經(jīng)整理，轉(zhuǎn)化為方程 .用換元法,令，有，代入得 ，即，解之得 .于是 或 ，解之得 ，， .所以 == .９ 與首末兩項等距離的項的系數(shù)相等且最高次是奇數(shù)的多項式的因分解方法（參見文獻）這種多項式的特點是1是它們的根。設這種多項式為，=，再用方法八求出的分
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