【文章內(nèi)容簡介】 一步的研究， MinMax等隱式多項式曲線的擬合算法拋棄了需要迭代的優(yōu)化算法，只需要求解一個線性方程組就能夠確定隱式多項式曲線方程的系數(shù)，可以說已經(jīng)趨于成熟。我們可以預(yù)見，把這種建模思想應(yīng)用到各種數(shù)據(jù)點集合之中必將帶來很大的發(fā)展空間。隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，利用計算機(jī)相關(guān)軟件解數(shù)據(jù)擬合問題也已經(jīng)成為了不可缺少的步驟。 研究的基本內(nèi)容 數(shù)據(jù)擬合理論體系的研究：研究數(shù)據(jù)擬合的基本理論，了解并掌握數(shù)據(jù)擬合的基本理論和方法。通過閱讀參考文獻(xiàn)和有關(guān)資料，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)擬合的重要意義以及目前關(guān)于數(shù)據(jù)擬合問題的研究現(xiàn)狀。并對目前數(shù)據(jù)擬合的各種方法的特點做出概述。(1)處理兩個變量之間關(guān)系的曲線擬合基本理論，并對其方法進(jìn)行分析。(2)多元函數(shù)擬合的基本理論，并對其方法進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)擬合在工程實際中應(yīng)用實例的研究：歸納總結(jié)數(shù)據(jù)擬合理論在工程中實際應(yīng)用的典型實例。通過分析實際的工程應(yīng)用實例的有關(guān)資料，掌握數(shù)據(jù)擬合在實際工程中的應(yīng)用方式。對其進(jìn)行分析，研究數(shù)據(jù)擬合在實例應(yīng)用中的合理性和可行性。研究各種方法在理論與實例應(yīng)用之間的關(guān)系。研究數(shù)據(jù)擬合在實例應(yīng)中的靈活行。(1)曲線擬合在工程實際中的應(yīng)用實例，并對其特點進(jìn)行分析和總結(jié)。(2)多元函數(shù)擬合在工程實際中的應(yīng)用實例，并對其特點進(jìn)行分析和總結(jié)。 第 1 章 緒論7 論文的主要工作及結(jié)構(gòu)安排由上可知，論文將從數(shù)據(jù)擬合發(fā)展過程、特點、基本方法以及數(shù)據(jù)擬合在工程實際中的應(yīng)用實例對數(shù)據(jù)擬合進(jìn)行全面、深入地研究，在此基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)數(shù)據(jù)擬合在工程問題中的各種應(yīng)用，并對其進(jìn)行理論分析。具體內(nèi)容安排如下：(1)第 2 章主要從理論的角度研究數(shù)據(jù)擬合的基本思想，方法。分別從處理兩個變量之間關(guān)系的曲線擬合基本理論和多元函數(shù)擬合的基本理論兩個大的方面進(jìn)行研究細(xì)分。(2)第 3 章主要通過工程實際中的應(yīng)用實例，利用數(shù)據(jù)擬合的基本理論也分別從曲線擬合在工程實際中的應(yīng)用實例和多元函數(shù)擬合在工程實際中的應(yīng)用實例進(jìn)行歸納并進(jìn)行分析。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）8第 2 章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論9第 2 章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論科學(xué)和工程問題可以通過比如采樣、實驗等方法而得到若干的離散的數(shù)據(jù)，根據(jù)這些離散的數(shù)據(jù)，我們往往希望能得到一個連續(xù)函數(shù)(也就是曲線)或者更加密集的離散方程與已知數(shù)據(jù)相吻合。這個過程叫做擬合。也就是說，如果數(shù)據(jù)不能滿足某一個特定的函數(shù)的時候，而要求我們所要求的逼近函數(shù)最優(yōu)的靠近那些數(shù)據(jù)點，按照誤差最小的原則為最優(yōu)的標(biāo)準(zhǔn)來構(gòu)造出函數(shù)。在科學(xué)計算中經(jīng)常要建立實驗數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。給定函數(shù)的實驗數(shù)據(jù)，需要用比較簡單和合適的函數(shù)來逼近(或擬合)實驗數(shù)據(jù)。這種逼近的特點是：(1) 是需要適度的精度的；(2) 實驗數(shù)據(jù)有一些小的誤差；(3) 對于一些問題，可能有一些特殊的信息能夠用來選擇實驗數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型。逼近離散數(shù)據(jù)的基本方法就是曲線擬合，常采用最小二乘擬合。曲線擬合問題的數(shù)學(xué)描述是，已知一組(二維)數(shù)據(jù) ，i = ),(yxi1,2,…,n(即平面上的 n 個點 ，i = 1,2,…,n)， 互不相同，尋找一個函),(yxi i數(shù)(曲線 )y = f(x)，使得 f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有的數(shù)據(jù)點最接近，即曲線擬合得最好。 最小二乘曲線擬合對于已知的 m+1 的離散數(shù)據(jù) 和權(quán)數(shù) ，記miiyx0},{?mi0}{??ixba??0an在連續(xù)函數(shù)空間 C[a,b]中選定 n+1 個線性無關(guān)的基函數(shù) ，并記由kx0)(??它們生成的子空間 。如果存在)}(,)({10xspn???? (21)**kax????使得燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）10 (22)*2 2()0 0[]min[()]ni ixiyyx???????????則稱 為離散數(shù)據(jù) 在子空間 中帶權(quán) 的最小二乘擬合。)(*x?miix0},{mi0}{?函數(shù) 在離散點處的值為 (23)0()(),1,nijaxi???因此，(22)右邊的和式是參數(shù) 的函數(shù)，記作n?1 (24)20220 ])([),(???minjijixayI ???這樣，求極小值問題(22)的解 ,就是求多元二次函數(shù)(*x?的極小點 使得),(*1*0na? ),(10naI? (25)01* 01,i,)nnaRIa??? ?由求多元函數(shù)極值的必要條件 (26)002[()],mnijikiikIyxa?????????若記 (27)0(,)()()mjkijikii x? (28)ndxff kikiiik ,10,0 ??????上式可改寫為 (29)),.(。),(akjnojk???這個方程稱為法方程，可寫成矩陣形式 (210)dG其中 (211)0101(,.),(,.)TTnnaa?? (212)?????? ),(),(),(,(1010nnn ??? ?????第 2 章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論11由于 線性無關(guān)，故|G|≠0，方程(29)存在唯一的解)(),(10xxn?? (213)*,01,kan??從而得到函數(shù) f(x)的最小二乘解為 (214)**0()()nkSxx?????可以證明，這樣得到的 ，對于任何 ，都有S (215)????*2 2*0 0[()][()]n ni iii iii if fxx??? ????故 是所求的最小二乘解。記 ，顯然，平方誤差 或均)(*xS )(xy??2?方誤差 越小，擬合的效果越好。2? 多項式擬合前面討論了子空間 Φ 中的最小二乘擬合。這是一種線性的擬合模型。在離散數(shù)據(jù)最小二乘擬合中，最簡單、最常用的數(shù)學(xué)模型是多項式。 為了確定數(shù)據(jù)擬合問題，我們選用 作為函數(shù)類，有 2{1,}nx? (216)201()xaa????? (1)m?這就是多項式擬合函數(shù)。為了確定擬合函數(shù) 的系數(shù)，需要求解正201nxx?規(guī)方程組 (217)01112112022 11mmnkkkmkkknkmnnnnkkkkaayxxaaxy?????????????????? ?? ? ? ?也可以用矩陣形式表示為燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）12 (218)111021112111mmmnkkkkkkknmmmn nkkkkxxyaxxxy??????????????????????? ????? ????解得 即可，將其代入(216)即可得到擬合多項式。01,na?第 2 章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論13 正交多項式作最小二乘擬合的原理用一般的最小二乘法擬合時其法方程的系數(shù)矩陣 G 是病態(tài)的，但如果用正交多項式擬合可以不通過求法方程來確定 ，顯然擬合*.(0,12)ka??的效果較好。即如果 是關(guān)于點集 的帶權(quán))(),(10xxn?? ????mix,?正交的函數(shù)族，有???mix,??? (219)00,(,)()()mjkijikiki jA??? ??????則方程組(29)的解為 (220)??*02()()(,),k0, iikifxfa????且平方誤差為 (221)22*0()nkkfaA????根據(jù)已知的節(jié)點 及權(quán)函數(shù) 先構(gòu)造帶權(quán) 正交的多01,mx? ?x?)(x?項式 。用遞推的公式表示 ：{()},npx?()kp (222)1101())()(),2,1)kkkxxn?????????? ??? ?這里 是首項系數(shù)為 1 的 k 次多項式。根據(jù) 的正交性得：()kpx kpx (223)2022022()(),(,)()(,)(,21)miii kkkikiimikii kkiiipxppnx?????????????? ?????用正交多項式 的線性組合作最小二次擬合，只要在逐步求 的{()}k ()kpx同時，相應(yīng)計算出系數(shù)燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）14 (224)02()()(,),0,12)miikikik iiixfpfpa n?????并逐步把 累加到 中去，最后即可得所求擬合曲線*()kx()Fx (225)***01()()nyapxapx??這里的 n 可以是事先給定的或根據(jù)誤差確定。使用這種方法編程序不用解方程組，只用遞推公式，并且當(dāng)逼近次數(shù)增加一次時，只要把程序中循環(huán)數(shù)加 1，其余不用改變。這是目前用多項式做曲線擬合的最好計算方法，有通用的語言程序供用戶使用。 非線性最小二乘擬合在最小二乘法曲線擬合時，通常會遇到很多的非線性函數(shù)，這些非線性函數(shù)大多數(shù)可以通過數(shù)學(xué)變換進(jìn)行線性化。例如用指數(shù)函數(shù) 來擬bxyae?合，首先兩邊取自然對數(shù)，得 ，可以令 得到lnyabx??**ln,l,。先做出 的一次線性擬合，然后再計算出原始模型的參數(shù)。*yabx??l下面給出常見函數(shù)的線性化方法和函數(shù)圖形：冪函數(shù)： byx令 ，則lg,lYyXx?lgYabX??指數(shù)函數(shù)： bae第 2 章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論15可令 ，則ln,YyXx?lnYabX??對數(shù)函數(shù)： lgab?令 ,則,lgYyXx?YabX??負(fù)指數(shù)函數(shù)： e令 ，則1ln,YyXx?lnYabX??S 型曲線： xabe?燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）16令 ，則1,xYXey??YabX??選取的數(shù)學(xué)模型可根據(jù)來源不同分為半經(jīng)驗(或半機(jī)理)模型和經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。如果?shù)學(xué)模型的建立有一定的理論依據(jù)，即根據(jù)機(jī)理寫出模型結(jié)構(gòu)，再由實驗數(shù)據(jù)估計模型參數(shù)，這時建立的模型是半經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀６?jīng)驗?zāi)Ｐ偷慕⒂址謨煞N情況，一是無任何理論依據(jù)，但有經(jīng)驗公式可供選用，二是無任何參考。只有根據(jù)曲線形狀來判斷，選用形狀接近的函數(shù)做擬合模型。綜上所述，兩個變量的最小二乘法曲線擬合問題的求解步驟可歸納為以下四個步驟。第一步：建立數(shù)學(xué)模型，推薦優(yōu)先使用機(jī)理模型，沒有機(jī)理模型時，需要對試驗點繪圖，根據(jù)曲線的形狀選擇合適的經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀５诙剑壕€性化，如果所建立的模型是非線性的，需要通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換將其線性化。第三步：計算參數(shù)，首先根據(jù)線性模型計算出參數(shù)，再根據(jù)第二步的線性化公式計算出原始的模型參數(shù)。第四步：擬合效果評價，對擬合效果做出定量評價。 多元最小二乘擬合最小二乘法的有關(guān)概念可以推廣到多元函數(shù)中，例如已知多元函數(shù) (226)12(,)lyfx??的一組測量數(shù)據(jù) ，以及它的一組權(quán)系數(shù)12(,)ilix? m?，要求函數(shù)0i??(,)m?? (227)1212(,)(,),nnlklSxaxn????? ?使得 (228)201 121(,)[(,)]mniniliFaySx???? ?最小，這與前面一元最小二乘法中的求極值的問題完全是一樣的，系數(shù)同樣滿足一元最小二乘法問題中的法方程組，只不過這里的12,na?第 2 章 數(shù)據(jù)擬合的基本理論17 (229)12121(,)(,)(,)mkjikilijilixx?????? ?求解法方程組 (230)(,),(0,.)nkjkjoadn??就可以得到 從而得到 。我們稱,(0,?為函數(shù) 的最小二乘擬合。12(,)nlSx? 12(,)lyfx?基本與兩個變量的最小二乘法曲線擬合問題的求解步驟相同。但是，多元擬合的難點在于非線性模型線性化。將上述最小二乘法擬合曲線的方法加以改進(jìn), 推廣至三維空間即為散亂數(shù)據(jù)點的曲面擬合, 由于多項式擬合在次數(shù)較高時會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象, 為了避免這一現(xiàn)象的發(fā)生,可以采用雙三次多項式來擬合三維散亂數(shù)據(jù)。給定一組數(shù)據(jù)點 設(shè)雙三次曲面方程為( , ),0,12, xiyzim?? (231)??232301 1 , )( )zfxyaaxbyby???即 (232)2202234532 36789101123321145, fcyccxxyx對該雙三次曲面方程，考慮 (233)20220(,)(,)miiigcfyz????同上面曲線擬合的解法完全類似，可以很快求得 (234)??***30115 , fxycxx??的系數(shù)，即可得到散亂數(shù)據(jù)的曲面擬合函數(shù)。龍格現(xiàn)象：在計算方法中，有利用多項式對某一函數(shù)的近似逼近，這樣，利用多項式就可以計算相應(yīng)的函數(shù)值。例如，在事先不知道某一函數(shù)的具體形式的情況下，只能測量得知某一些分散的函數(shù)值。例如我們不知道氣溫隨日期變化的具體函數(shù)關(guān)系，但是我們可以測量一些孤立的日期的氣溫值，并假定此氣溫隨日期變化的函數(shù)滿足某一多項式。這樣，利用已經(jīng)測的數(shù)據(jù)，應(yīng)用待定系數(shù)法便可以求得一個多項式函數(shù) 。應(yīng)用此函()fx數(shù)就可以計算或者說預(yù)測其他日期的氣溫值。一般情況下，多項式的次數(shù)燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）18