【正文】 .......................................................................... 1 不動(dòng)點(diǎn)理論背景知識(shí)，歷史淵源 .................................................................. 2 壓縮映射原理的簡(jiǎn)介 ....................................................................................... 3 第二章 Banach 壓縮映射定理的證明思路探究 .......................................................... 6 定理內(nèi)容和證明 .............................................................................................. 6 一個(gè) 例 子 .......................................................................................................... 6 本章總結(jié) .......................................................................................................... 8 第三章 Banach 壓縮映射原理的推廣 ........................................................................ 10 推廣的背景： ................................................................................................. 10 壓縮映射原理的一種推廣形式及其證明 .................................................... 10 本章總結(jié) ......................................................................................................... 12 第四章壓縮映射原理的應(yīng)用舉例 ............................................................................. 13 一類(lèi)簡(jiǎn)單積分方程的解的存在與唯一性的證明 ........................................ 13 積分方程組的解的存在與唯一性證明 ........................................................ 14 本章總結(jié) ......................................................................................................... 16 第五章概率度量空間中的壓縮映射原理 ................................................................. 17 基本概念的構(gòu)造 ............................................................................................ 17 隨機(jī)壓縮映射原理的構(gòu)造 ............................................................................ 17 概率度量空間的背景知識(shí) ............................................................................. 19 概率度量空間中的基本概念 ......................................................................... 19 ： t? 范數(shù)的概念及其性質(zhì) ........................................................................... 21 概率度量空間上的壓縮映射原理 ................................................................ 21 概率度量空間上非線性的壓縮映射原理 ..................................................... 24 概率度量空間上的壓縮映射原理的應(yīng)用 ..................................................... 26 本章總結(jié) ........................................................................................................ 26 結(jié)論 .............................................................................................................................. 28 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................................... 29 1 第一章 緒 論 我第一次接觸壓縮映射原理是在張慶恭和林渠源老師所編寫(xiě)的泛函分析的書(shū)上，當(dāng)時(shí)書(shū)中應(yīng)用壓縮映射原理瞬間證明出了常微分方程中當(dāng)時(shí)分五步證明的解的存在唯一性定理和數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)存在定理，這使當(dāng)時(shí)的我感到非常吃驚，在常微分方程和數(shù)學(xué)分析書(shū)中對(duì)這兩個(gè)定理的證明中似乎看不到這兩個(gè)定理有什么聯(lián)系，但是一旦應(yīng)用上了壓縮映射原理，就找到了它們的共同點(diǎn)。雖然只有兩個(gè)例子，但是獲得方法和思想可以用到許多其他的例子上。主要內(nèi)容如下： 第一章，是緒論部分，首先講了我之所以寫(xiě)這篇文章的原因，然后是本文所研究問(wèn)題的歷史背景和發(fā)展情況。 第二章， 介紹壓縮映射原理的最基本的形式 ， 即 Banach 壓縮映射原理 ，通過(guò) 對(duì)其定理內(nèi)容和證明方法的分析，深刻認(rèn)識(shí)了 Picard 迭代方法 在證明中起到的重要作用，總結(jié)出了一套通用的方法證明這類(lèi)定理，還找了一個(gè)例子 ， 用總結(jié)出的方法進(jìn)行了證明。 第五章，引入概率度量空間的概念，和其中一系列與壓縮映射原理有關(guān)的概念，結(jié)合概率度量空間的一些特殊性質(zhì)，用前幾章的討論方法，在 概率度量空間上 討論壓縮映射原理，依次討論了含隨機(jī)數(shù)的壓縮映射原理，在概率度量空間上添加一些條件后的基本壓縮映射原理，非線性的壓縮映射原理及應(yīng)用 等 。另外我在考研究生參加復(fù)試的時(shí)候，當(dāng)時(shí)一位老師問(wèn)我一個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題是這樣的：在旅游景點(diǎn)甚至在學(xué)校內(nèi)的大門(mén)口經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到有平面的小地圖，由此請(qǐng)問(wèn)說(shuō)明在小地圖上的一點(diǎn)適合大地圖上的一點(diǎn) 是重合的。 證明了壓縮映射原理后，下面的問(wèn)題自然是推廣壓縮映射原理，也可以說(shuō)是壓縮映射原理推論吧，就像數(shù)學(xué)分析中將洛爾定理推廣到拉格朗日定理，再將拉格朗日定理推廣到柯西定理那樣，在證明推廣的定理時(shí)，證明的方法和最開(kāi)始的壓縮映射原理非常相似，至少在大的方向上是一樣的，根據(jù)具體的條件會(huì)有所差異。 傳統(tǒng)的研究方向是將壓縮映射原理應(yīng)用在求數(shù)列極限，微分方程，積分方程，或者方程組解的存在唯一性等問(wèn)題上，數(shù)列，微分方程，積分方程也是千變?nèi)f化，但只要可以根據(jù)具體條件構(gòu)造出壓縮映射，就可以應(yīng)用壓縮映射原理說(shuō)明問(wèn)題。 1910 年， . . .LE J Brouwer證明了有限維空間中多面體上的連續(xù)映射至少有一個(gè) 不動(dòng)點(diǎn)，從而開(kāi)啟了不動(dòng)點(diǎn)理論研究的先河。 . . .LE J Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理說(shuō)明： 在 一個(gè)拓?fù)淇臻g中 ， 滿足一定條件的連續(xù)函數(shù) f ，存在一個(gè)點(diǎn) 0x ，使得 ? ?00f x x? ， . . .LE J Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理 的一個(gè)簡(jiǎn)單 的 函數(shù) 形式是對(duì)一個(gè)從某個(gè)圓盤(pán) D 映 射到它自身的函數(shù) f 。 在 這個(gè) 定理 的 證明中， . . .LE J Brouwer引進(jìn)了從一個(gè)復(fù)形到另一個(gè)復(fù)形的映射類(lèi)，以及一個(gè)映射的映射度等概念 。 1910 年，布勞威爾對(duì)于任意的證明了這個(gè)猜想 ： 維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕谧C明過(guò)程中， . . .LE J Brouwer構(gòu)造 了連續(xù)拓?fù)溆成?下的 單純 逼近 的概念， 主要是 一系列線性映射的逼近 的概念， 他還 構(gòu) 造了映射的拓?fù)涠鹊母拍?，即 一個(gè)取決于拓?fù)溆成溥B續(xù)變換的同倫類(lèi)的數(shù) 。 ??2 1962 年， Rakotch ，存在單調(diào)函數(shù) ? ? ? ? ? ?: 0, 0,1t? ??使得 ? ? ? ?? ? ? ?, , , ,d T x T y d x y d x y x y???。 ??6 1971年 ， Reich ， , , 0 , 1 , ,a b c a b c x y X? ? ? ? ? ? ?有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ?, , ,a d x T x b d y T y c d x y???。 ? ?10 1972 年， ..S K Chatterjea， 10 , , ,2h x y X??? ? ? ????? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ?? ?, , ,h d x Ty d y Tx。 ? ?14 1977年， ..BERhoades ，存在 1ia?? ，其中 ? ? ? ? ? ?: 0, 0,1 ,iat ??單調(diào)減少，對(duì)于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?12, , , ,a d x y d x y a d x y d x T x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 4 5, , , , , ,a d x y d y T y a d x y d x T y a d x y d y T x? ? ?。 6 第二章 Banach 壓縮映射定理的證明思路探究 參考文獻(xiàn) [2]中記載有 Banach 壓縮映射定理 :設(shè) X 為完備的度量空間，:T X X? 且滿足 ? ? ? ?, , ,d Tx Ty kd x y? ? ?0,1k? ，則 T 在 X 內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。 注釋 :之所以把這個(gè)定理證明一遍是因?yàn)槎ɡ淼淖C明方法同樣適用于其他類(lèi)型的壓縮映射原理下面的例子就要說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。 （ 3） 證明 nx 的極限點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn) 。 定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 3 4 5,1 1 2 3 4 5 12 n n n n n nn n n n n n n n na b a b a b a b a b a bq d q b a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 3 4 523452 12a p a p a p a p a pqp a p a p a p a p? ? ? ???? ? ? ?， 所以 ， 8 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 01 , 0nn n n n n n n n n nq d q p d q d d q q p d q p d x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這與 ,1nndp? ? 矛盾，所以 0p? 。 設(shè) x? 滿足 limnn xx??? ?，下證 Tx x??? 。理解了證明，在此基礎(chǔ) 9 上構(gòu)造出新的壓縮映射原理也會(huì)變得容易。 證明 因?yàn)?X?? 是 ? ?0 0n nTx?? 的聚點(diǎn) ，所以 可以設(shè) 0lim iinn Tx ??? ? ，下面分三步證明， 11 第一步， 如果存在 ,k ??? 使得 100kkT x T x?? ， 因?yàn)?lim ii nn Tx ??? ?， 所以 10 0 0 0l im l im l im l imi i i ii i i in n k n k nkkn n n nT x T T x T T x T T x T???? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?。 因?yàn)?V 連續(xù) ，所以 ? ? ? ? ? ?00l i m l i miiiinnnnV T x V T x V r?