【正文】 he problem. The second chapter, this paper introduces the basic form of pression mapping principle, namely the contraction mapping theory, through the analysis of its proof content and methods, understanding the iteration method plays an important role in proof, summarizes a set of generic methods to prove this theorem, still looking for an example, summarizes the way has carried on the proof. The third chapter, in the first chapter summarizes the method of pression mapping principle is studied in the form of more plex, as the research problem of plex, also made the first chapter summarizes the methods bee more perfect. The fourth chapter, in the previous chapter conclusion and method is applied to the existence and uniqueness of solution of differential equation and differential equations. Although only two examples, methods and thoughts can be used on many other examples. The fifth chapter, the introduction of the concept of probabilistic metric Spaces, and a series of concepts related to the contraction mapping theory, bined with some special properties of the probabilistic metric Spaces, the use of the previous chapters discuss method, pression mappings in probabilistic metric space principle, in order to discuss the pression mapping principle, containing the random number after adding some conditions in probabilistic metric space basic pression mapping principle, the principle and application of the pression of nonlinear mapping, etc. Key words: pression mapping。 The nonlinear differential equation III 目錄 摘要 ................................................................................................................................. I ABSTRACT .................................................................................................................. II 第一章緒論 .................................................................................................................... 1 寫作動機 .......................................................................................................... 1 不動點理論背景知識，歷史淵源 .................................................................. 2 壓縮映射原理的簡介 ....................................................................................... 3 第二章 Banach 壓縮映射定理的證明思路探究 .......................................................... 6 定理內(nèi)容和證明 .............................................................................................. 6 一個 例 子 .......................................................................................................... 6 本章總結(jié) .......................................................................................................... 8 第三章 Banach 壓縮映射原理的推廣 ........................................................................ 10 推廣的背景： ................................................................................................. 10 壓縮映射原理的一種推廣形式及其證明 .................................................... 10 本章總結(jié) ......................................................................................................... 12 第四章壓縮映射原理的應(yīng)用舉例 ............................................................................. 13 一類簡單積分方程的解的存在與唯一性的證明 ........................................ 13 積分方程組的解的存在與唯一性證明 ........................................................ 14 本章總結(jié) ......................................................................................................... 16 第五章概率度量空間中的壓縮映射原理 ................................................................. 17 基本概念的構(gòu)造 ............................................................................................ 17 隨機壓縮映射原理的構(gòu)造 ............................................................................ 17 概率度量空間的背景知識 ............................................................................. 19 概率度量空間中的基本概念 ......................................................................... 19 ： t? 范數(shù)的概念及其性質(zhì) ........................................................................... 21 概率度量空間上的壓縮映射原理 ................................................................ 21 概率度量空間上非線性的壓縮映射原理 ..................................................... 24 概率度量空間上的壓縮映射原理的應(yīng)用 ..................................................... 26 本章總結(jié) ........................................................................................................ 26 結(jié)論 .............................................................................................................................. 28 參考文獻 ...................................................................................................................... 29 1 第一章 緒 論 我第一次接觸壓縮映射原理是在張慶恭和林渠源老師所編寫的泛函分析的書上，當時書中應(yīng)用壓縮映射原理瞬間證明出了常微分方程中當時分五步證明的解的存在唯一性定理和數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)存在定理，這使當時的我感到非常吃驚，在常微分方程和數(shù)學(xué)分析書中對這兩個定理的證明中似乎看不到這兩個定理有什么聯(lián)系，但是一旦應(yīng)用上了壓縮映射原理，就找到了它們的共同點。由此我覺得我和壓縮映射原理十分有緣，也對這個定理產(chǎn)生了濃厚的興趣。 事實上，這個證明方法中涉及到的迭代法在數(shù)值分析課程中也有提到，可以構(gòu)造一系列迭代關(guān)系， 從而去求得方程的近似解等數(shù)值分析的問題，這也算是由壓縮映射原理得到的一個非常重要的應(yīng)用吧。 后來進行深入的了解我發(fā)現(xiàn)之前的壓縮映射原理另一個名稱是 Banach 不動點原理，也就是說不動點定理有很多很多，應(yīng)用也更是千變?nèi)f化，壓縮映射原理只是其中的一種類型，也就是壓縮型的不動點原理，即使是壓縮型的不動點原 2 理也有很多很多中，形式由線性的可以推廣到非線性的，然后再到抽象型的，但基本都是在最初的壓縮映射原理的基礎(chǔ)上，將一些定義在新的形式下重新定義，同樣的大思路進行新的壓縮映射原理的證明。另一個比較有用的應(yīng)用是在隨機泛函分析中，結(jié)合隨機變量的相關(guān)性質(zhì)給出隨機算子，隨機不動點的定義，從而建立隨機壓縮映射原理。 我的論文這次就是要寫這些問題，首先將 Banach 壓縮映射原理完整的證明一下，之后利用這個證明方法去推廣壓縮映射定 理，從而可以得到一些其他條件下的壓縮映射原理，接下來如常微分方程中所要做的一樣，將方程推廣到方程組，從而可以解決更多的實際問題，再之后，我將用我所學(xué)到的實變函數(shù)與概率論知識，在概率空間中討論壓縮映射原理及其應(yīng)用，由于時間緊迫，加上我本人現(xiàn)階段知識也是十分貧乏，暫時決定就先做出這些方面的研究，隨著不斷的學(xué)習(xí)我相信今后我會得出更多的成果。 法國數(shù)學(xué)家 .HPoincare 在 1895 年至 1900 年，在“龐加萊的最后定理”中，把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結(jié)為滿足某種條件的平面連續(xù)變換不動點的存在問題，首先使用了不動點的概念。特別是波蘭數(shù)學(xué)家 Banach 在 1922 年使用 Picard 迭代方法證實了Banach 壓縮映射原理之后，由于其結(jié)果的優(yōu)美性和成功的解決了像隱函數(shù)存在定理，微分方程解的存在唯一性等一系列重大的應(yīng)用問題，使得不動點理論成為數(shù)學(xué)寶庫中的一朵奇葩，促使數(shù)學(xué)家們對其進行了深入和廣泛的研究。 . . .LE J Brouwer不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理， 因為 它可 以 應(yīng)用到有限維 拓撲 空間 ，所以成為 一般不動點定理的基石。 推廣的 . . .LE J Brouwer定理則對 任意 從某