【正文】 任取 0xX? ，記 ? ?10nnnx T x T x n?? ? ??? ? ? ?，則 ? ?nxX? ，所以 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1 1 1 1 1, , , 1 , 2 , 3m in , ,n n n n n n n n n nx x T x T x x x x x x xF t F t F t F t F t? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1 1 1, , ,m in , ,n n n n n nx x x x x xF t F t F t? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?11,m in ,n n n nx x x xF t F t????? 。映射 T :XX? 滿 足的 壓 縮條 件為 對(duì) 于, , 0x y X t? ? ? ?，有 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?, , 1 , 2 , 3m in , ,T x T y x T x y T y x yF F t F t F t? ? ?? ， 則壓縮映射 T 存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。 概率度量空間上 非線性的壓縮映射原理 與一般度量空間中的討論一樣，研究了基本的壓縮映射原理之后，就要繼續(xù)研究應(yīng)用更加廣泛的非線性的情況，在不同的條件下會(huì)得到不同的壓縮映射原理，從之前探究的證明方法入手，證明下面這個(gè)非線性的壓縮映射原理 ，該定理取自參考文獻(xiàn) [11]。 24 在之前的內(nèi)容里，列舉了好多個(gè) t? 范數(shù)的例子，從中任取一個(gè)來構(gòu)造一個(gè)壓縮映射原理，例如當(dāng) ? ? ? ?, m in ,a b a b?? 時(shí)， f 存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。 下面證明 x? 為 f 的不動(dòng)點(diǎn) ，因?yàn)? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1, , , , ,m m m mfx x fx x x x x x x xtF t F t F t F F tk? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ????????， 所以 ? ? ? ?1, , ,l i m ,mmfx x x x x xmtF t F F tk? ? ? ? ?????????? ????????。 對(duì)這種問題的證明思路就是否定其中一個(gè)然后去證明另一個(gè) 。 任取 0xE? ，記 ? ?1nnx f x? ? ， ? ? ? ?? ?00 ,in f , 0 , 1 , 2 ,mx x xG t F t m? ? ???，設(shè)? ?,EF? 是一個(gè)完備的 M? 概率度量空間，其中 ? 滿足 ? ?, 1,tt??對(duì)于 1t?? ， :f E E? 為壓縮映射，那么下面兩個(gè)結(jié)論必定會(huì)成立其中一個(gè)： ??1 f 存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。 證明 23 從結(jié)論上看證明比較適合用反證法，因此設(shè) 12,xx為壓縮映射 f 的兩個(gè)不一樣的不動(dòng)點(diǎn) ， 則 ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2, , , ,x x fx fx x x fx fxttF t F t F Fkk? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 2,2x x x x nttFFkk? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以 ? ?12, 1xxFt?，所以 ? ? ? ?12,xxF t H t?，所以 12xx? 。 在一般的度量空間里不動(dòng)點(diǎn)可以有好多個(gè)，比如對(duì)于函數(shù) ? ?f x x? ，它定義域內(nèi)的所有的點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)，而由于在概率度量空間上受到現(xiàn)實(shí)問題的約束，因此概率度量空間下的壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)就會(huì)有一些規(guī)律。 ? ?? 已知 0 , 0 , , ,t N n N?? ? ? ? ? ?有 ? ?, 1nxxFt ???成立，即 ? ?, 1nxxFt ???，亦即 ? ?,lim 1nxxn Ft?? ?，對(duì)于 0t?? 成立 。實(shí)際上可以證明這兩個(gè)概念是等價(jià)的。 ??3 設(shè) ? ? ,nx E x E??稱 nx 收斂到 x ，如果對(duì)于 ? ? ? ?, lim nxxnt R F t H t??? ? ?成立。幾個(gè)重要的概念如下所示： ??1 :f E E? 被稱為壓縮映像，如果滿足對(duì)于 ,xy E??，? ? ? ? ? ? ? ?, x y k x k yf x f y xF x F F xk????????。 ? ? ? ?6 , m in ,1a b a b? ? ?。 ? ? ? ?4 , m ax ,a b a b?? 。 ? ?2 ,a b a b??。 注釋： 在解決實(shí)際問題時(shí)要利用一些具體形式的 t? 范數(shù)，下面舉幾個(gè)常用的例子 。 ??3 ? ? ? ?,a b c d? ?? ，其中 ,c a d b??。 ： t? 范數(shù)的概念及其性質(zhì) ? ? ? ? ? ?: 0,1 0,1 0,1? ? ?稱為 t? 范數(shù)，如果對(duì)于 ? ? ?, , , 0,1 ,a b c d? 滿足 ??1 ? ?,1aa??。 證明 ， ?? ??13的證明都十分顯然，下面證明條件 ??4 ， 已知條件? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?, 1 1, 2 2,1,1xyxyF t H t d x yF t H t d z y? ? ?? ? ?， 所以 1? ? ? ? ?? ?, 1 2 1 2 ,xzF t t H t t d x z? ? ? ? ? ? ? ?? ?12,H t d x y t d y z? ? ? ? ? ?? ?2 ,1H t d y z? ? ? 注釋 3： 條件 ??4 可以推出 ? ? 1P?? 。 注釋 1： 具體一點(diǎn)的說 ??,xyFt可以近似的理解為 ,xy之間的距離小于 t 的概率，這樣的 ??,xyFt顯然滿足 ?? ??14中要求 。 ??3 ,x y yxFF? 。 ??2 我們把有序?qū)?? ?,EF 稱為 PM? 空間，其中 ,:E F E E D? ? ? ?(記 20 ? ? , xyF x y F? )而且對(duì)于 ,x y E??滿足以下條件： ??1 ? ?, 1,xyFt? 對(duì)于 0t?? 當(dāng)且僅當(dāng) xy? 時(shí)成立 。 還是要先介紹幾個(gè)非?；A(chǔ)的概念 ，這些基本概念取自 參考文獻(xiàn) [9]中。 在國(guó)內(nèi)，西安交通大學(xué)已故的著名科學(xué)家游兆永教授首先開始研究這一領(lǐng)域，游教授在 1979 年發(fā)表了國(guó)內(nèi)第一篇研究 PM? 空間的學(xué)術(shù)論文，在這之后國(guó)內(nèi)的龔懷云，張石生，丁協(xié)平等教授也開始從事這個(gè)領(lǐng)域的研究，但是直到現(xiàn)在，這一理論下還是有很多問題有待研究。 19 概率度量空間的背景知識(shí) 概率度量空間（簡(jiǎn)記為 PM? 空間） ,是度量空間把兩點(diǎn)間距離用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行，描述的一種空間。 由于 ,xy在不斷的變化，所以 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?, , , , ,xyE d f x f y k d x y? ? ? ?? ? ? ?， 也可能會(huì)隨之發(fā)生變化，這也是該定理與引理的區(qū)別所在，所以證明的思路就是構(gòu)造出和引理類似的 0? ，則此定理就證明出來了。 令 ? ? ? ? 00,x? ? ??????????， 其中 xX?? 是其中的一個(gè)固定值 ， 下面證明 ? ???為隨機(jī)元 ， 對(duì)于 0xX??，令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1, nnx f x x f x? ? ? ? ????， 則 ? ?nx? 為隨機(jī)元列，而且有 ? ? ? ?..lim aenn x ? ? ??? ?，所以 ? ???為隨機(jī)元 ，所以 ? ?f ? 在 ? 上存在唯一的隨機(jī)的不動(dòng)點(diǎn) ? ???。 首先證明一個(gè)引理：設(shè) ? ?,P?? 為完全測(cè)度空間， ? ?,Xd 為 Polish 空間，隨機(jī)算子 :f X X?? ? 滿足 ? ?f ? 在 ? 上幾乎處處為隨機(jī)壓縮算子，則 ? ?f ? 存在唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn) 。 以上概念皆選自參考文獻(xiàn) [8]中。 ??4 稱 ? ???為隨機(jī)算子 :T X X?? ? 的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn)，如果 ? ???是 X 隨機(jī)元， 而且 ? ?? ? ? ?.., aeT ? ? ? ? ?? 。 ??2 稱 :xX?? 為 X 隨機(jī)元，如果 ? ?1,B x B?? ?? ??。 本章總結(jié) 本章使舉例來說明壓縮映射原理在解微分方程上的應(yīng)用，將壓縮映射原理應(yīng)用到了微分方程這一外表下， 由于微分方程形式是多樣的，對(duì)于不同的形式要自己構(gòu)造映射，然后自己證明是壓縮映射， 之前的章節(jié)一直都是在證明別人構(gòu)造的映射，所以難度有所增加，對(duì)于不同的形式，構(gòu)造也不一樣，選取的范數(shù)也不一樣，因此不是那么容易了，現(xiàn)在好多科學(xué)家也在研究這一方面 的各種形式下的問題，我現(xiàn)在的水平連初窺門徑也還不夠。 然后根據(jù)上面提到的非線性壓縮映射原理，得證微分方程組解的存在唯一性原理 。 ? ?2,pq? 使得 ? ?, 0,t s a?? 且對(duì)于 ? ? ? ? ? ?? ?, 0 , , ,x s y s C a E? 滿足 ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?111 1 2 2 1 2, , , , m a x : 0 , 0p q r uk t s T x s k t s T y s L T x s T y s r p u q?? ? ? ? ? ? ? ?0L? 。 這樣就引入了非線性壓縮映射原理的相關(guān)理論，在非線性壓縮映射原理中有這樣的一個(gè)定理： 設(shè) ? ?,Xd 是完備的度量空間， ,:S T X X? 是連續(xù)的映射，并且? ?, , 0,1p q N h? ? ?使得 ? ? ? ?? ?, m a x , : 0 , 0 , ,p q r sd S x T y d S x T y r p s q x y X? ? ? ? ? ? ?，那么 ,ST在 X 上存在唯一不動(dòng)點(diǎn) 。 注釋： 當(dāng) ? ? ? ?: 0, 0,f a a R??連續(xù)， 0a? ，而且函數(shù) f 關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，那么 ? ?,du f s uds ? 滿足初值條件 ? ?00u ? 在 ? ?0,a 上存在唯一解 。 構(gòu)造二： 令? ? ? ?* 0,m ax Ittax e x t???，因?yàn)?Lae x x x? ???， 所以 x 與 x? 等價(jià) ，所以 ? ?? ? ? ?? ?0m a x , , , ,tLtTg Th e k s t g s h s t h s d s?? ??? ? ?????? 14 ? ? ? ?0m a x tLtL e g s h s d s???? ? ? ? ?0m a x tL t L s L sL e e e g s h s d s????? ? ?1m a x 1Lt LtL e g h eL? ?? ? ? ? ? ? ?m a x 1 1L t L ag h e e g h????? ? ? ? ? ?。 設(shè)函數(shù) ? ? ? ?: 0 , 0 ,k a a R R? ? ?上面連續(xù)， 0a? ，且滿足 Lipschitz 條件 ? ? ? ?, , , ,k t s x k t s y L x y? ? ?， 那么對(duì)于 ? ? ? ?0,v t C a?? ， ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0, , , 0 ,tu t v t k t s u s d s t a? ? ?? ， 在 ? ?0,Ca中有唯一的解，并且對(duì)于 ? ?0 0,u C a?? ， 有 ? ? ? ? ? ?? ?10 ,tnnu t v t k t s u s d s??? ?在 ? ?0,a 上一致收斂于那個(gè)存在的唯一解 。 本章內(nèi)容是對(duì)第二章內(nèi)容的更深層次的推廣，但用到證明的核心思想和上一章是一樣的，通過對(duì)類似問題的研究使我明白看問題不能只看表面，不能被問題的外表嚇住，由此讓我對(duì)遞推法有了更加深刻地理解， 能夠熟練應(yīng)用遞推法的話確實(shí)可以解決許多看似十分困難的問題，而且不僅是在數(shù)學(xué)上，在應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題時(shí)，如果可以熟練應(yīng)用遞推法的話，也能夠盡可能化簡(jiǎn)復(fù)雜的算法 。 所以 當(dāng) jnn? 時(shí)，有 ? ? ? ?00,n n nd T x d T x T??? ? ? ? ?? ?110 0 0m a x , , , , 0n n nd T x d T x T x???? 12 ? ? ? ?? ?2 1 20 0 0m a x , , ,n n nd T x d T x T x?? ? ?? ? ? ? ?? ?10 0 0m a x , , ,j j jn n nd T x d T x T x???? ??? ? ?。 第三步： 下面證明0lim nn Tx ??? ?。 因?yàn)?V 連續(xù) ，所以 ? ? ? ? ? ?00l i m l i miiiinnnnV T x V T x V r?? ? ? ?? ? ?。 因?yàn)?? ?0nTx?? ， 所以 in? ，使得 0lim iinn Tx ??? ? 。 證明 因?yàn)?X?? 是 ? ?0 0n nTx?? 的聚點(diǎn) ，所以 可以設(shè) 0lim iinn Tx ??? ? ，下面分三步證明， 11 第一步， 如果存在 ,k ??? 使得 100kkT x T x?? ， 因?yàn)?lim ii