淺析凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用畢業(yè)論文-展示頁
2025-07-04 17:29本頁面
【正文】 存在且. ,所以對(duì)任一:恒有. (充分性)設(shè)是區(qū)間I上的任意三點(diǎn)，由已知條件,由此令和，可以得到,由定理1可知為凸的. 定理3 設(shè)在區(qū)間I上有導(dǎo)數(shù)，則在I上為凸函數(shù)的充要條件是遞增. 證明 （充分性）,不妨設(shè)及記，則,或 (1)由于 (1)式等價(jià)于 (2)應(yīng)用定理，使得，但,.故（2）式左端=按已知條件遞增，得知,從而上式0,(2)式獲證.（必要性）由定理1的推論4,在內(nèi)為遞增的，因存在，故亦在內(nèi)為遞增的，若I有右端點(diǎn)b,按照已知條件f在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù)，易知: 同理，若I有左端點(diǎn)a,則即在I上為遞增的.推論 若在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)，則在I上為凸函數(shù)的充要條件是：定理4 （不等式）若為上的凸函數(shù)，則 , ，有.證明 ，,即對(duì)任何 與都有現(xiàn)設(shè)及（i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,= = 即對(duì)任何正整數(shù),上述不等式成立.推論 設(shè)在區(qū)間I上是凸函數(shù),則對(duì)于任意的和都有. 3 凸函數(shù)的應(yīng)用 我們討論了凸函數(shù)的有界性，左右函數(shù)極限和性質(zhì). 例1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，試證：在I上的任一閉子區(qū)間上有界. 證明 設(shè)為任一閉子區(qū)間:①（證明在上有上界）取.因?yàn)橥购瘮?shù),所以
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