【正文】 ? ?? ? ? ? ? ?2121 111 xfxfxxf ???? ????? 因為 ? ? 0?xf ，為凹函數。 定理 設 ??xf 在區(qū)間 I上為凸函數，對任意 0?k ，則 : 0?k 時， ??xkf 在區(qū)間上為凸函數 0?k 時， ??xkf 在區(qū)間上為凹函數 定理 設 ??xf ， ??xg 是間 I上的凸函數，則 其 和 ? ? ? ?xgxf ? 也是 I上的凸函數。 定義 2 設 ??fx在區(qū)間 I 上有定義 , ??fx在 I 上成為凸函數當且僅當對任意 1x , 2x ∈I ,有 ? ? ? ?121222f x f xxxf ???? ????? 定義 3 設 ??fx在區(qū)間 I 上有定義， ??fx在 I 上成為凸函數當僅當對任意1x , 2x ? , nx ∈ I ,有 3 ? ?111ni niiixf f xnn???????????? ? 推論：若 ??fx在區(qū)間 I 上成為凸函數，則對任意 1x 2x 3x ,有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 2 3 12 1 3 2 3 2f x f x f x f x f x f xx x x x x x? ? ???? ? ? 注：若 ??fx在 I 上連續(xù)，則上述定義 1,2,3等價。 凸函數的 等價定義 定義 1 設 ??fx在區(qū)間 I 上有定義， ??fx在 I 上成為凸函數當且僅當對任意 1x , 2x ∈ I ,任意 ? ∈ (0,1)有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 211f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ? 若不等號反向，則稱 ??fx 為 I 上的凹函數。 2 例 1 . 指數函數 ? ? xxa? ? (a 0,a ≠1)是（ ∞， +∞）上的嚴格凸函數。 定義 1 設 ??fx是定義在區(qū)間 I 上的函數，若對 I 上的任意兩點 1x , 2x ,常有 ? ? ? ?121222f x f xxxf ???? ????? 則稱 ??fx為 I 上的凸函數。 1 凸函數的概念與等價定義 凸函數的概念 人們常用凸與凹來反映曲線的彎曲方向。 本世紀初建立了凸函數理論以來 ,凸函數這一重要概念已在許多數學分支中得到了廣泛應用。 ” 它使用許多數學工具（包括概率統(tǒng)計、數理分析、線性代數等）和邏輯判斷方法，來研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調度等問題，以期發(fā)揮最大效 益。 運籌學是在二十世紀四十年代才開始興起的一門分支。 本科學生畢業(yè)論文（設計） 題 目 （ 中文） ： 凸函數的性質及其應用 （英文）： Nature and Application of Convex Function 姓 名 羅立鋒 學 號 202116051116 院 系 數學與計算科學系 專業(yè)年級 信息與計算科學 2021 級 指導教師 周雪剛 2021 年 4 月 20 日 凸函數的性質及其應用 摘 要 凸函數 是一類重要的函數，在數學規(guī)劃中有著廣泛的應用，本文給出了凸函數的 三 種等價定義，并討論了凸函數的有關性質，以及它在不等式方面的相關應用。 [關鍵詞 ] 凸函數 等價定義 性質 應用 最優(yōu)化 Nature and Application of Convex Function Abstract Convex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality [Key wards] Convex function The definition of equivalence nature application Optimization 目 錄 緒論 ??????????????????? （ 1） 1 凸函數的概念與等價定義 ?????????? （ 1） 凸函數的概念 ????????????? （ 1） 凸函數的等價定義 ???????????? （ 2） 2 凸函數的簡單性質 ?????????????? （ 3） 3 凸函數的判定定理 ?????????????? （ 5） 4 關于凸函數的幾個重要不等式 ?????????? （ 7） Jensen 不等式 ??????????????? （ 7） Hadamard 不等式 ?????????????? （ 10） 5 凸函數的應用 ????? ??????????? （ 11） 凸函數在證明不等式中的應用 ???????? （ 11） ????????????? （ 13） 廣義凸函數求極小的問題 ?????????? （ 14） 廣義凸函數求極大的問題 ?????????? （ 16） 結束語 ??????? ?????????????? （ 19） 致謝 ?????????????????????? （ 19） 參考文獻 ???????????????????? （ 20）