【正文】 nn Tx ??? ?， 所以 10 0 0 0l im l im l im l imi i i ii i i in n k n k nkkn n n nT x T T x T T x T T x T???? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?。 下面根據(jù)之前總結(jié)的方法，證明 參考文獻(xiàn) [5]中的一個(gè)定理。理解了證明，在此基礎(chǔ) 9 上構(gòu)造出新的壓縮映射原理也會(huì)變得容易。 通過上面的討論，總結(jié)出了一套證明壓縮映射原理的方法， 從證明的例子中也可以看出： 只要涉及到遞推問題的壓縮映射原理，都可以按照上述步驟，用類似方法進(jìn)行證明，雖然許多細(xì)節(jié)處不盡相同，但主要的套路是不變的。 設(shè) x? 滿足 limnn xx??? ?，下證 Tx x??? 。 整理得 ， ? ? ? ?, 1 4 2 , 1 1 3 5 , 11 4 511m n m m n nd a a a d a a a da a a ????? ? ? ? ? ???? ? ?。 定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 3 4 5,1 1 2 3 4 5 12 n n n n n nn n n n n n n n na b a b a b a b a b a bq d q b a b a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1 2 3 4 523452 12a p a p a p a p a pqp a p a p a p a p? ? ? ???? ? ? ?， 所以 ， 8 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 1 01 , 0nn n n n n n n n n nq d q p d q d d q q p d q p d x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?這與 ,1nndp? ? 矛盾，所以 0p? 。 交換 1nx? 與 nx 的位置可得另一不等式為 , 1 , 1 , 1 2 , 1 3 1 , 4 , 5 1 , 1n n n n n n n n n n n nd a d a d a d a d a d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 兩個(gè)不等式相加得 , ? ? ? ?, 1 1 2 3 4 5 , 1 2 3 4 5 , 122n n n n n nd a a a a a d a a a a d? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得 , ? ?1 2 3 4 5, 1 , 1 , 1234522n n n n n na a a a ad d da a a a? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， 即 ,1nnd? 單調(diào)遞減 。 （ 3） 證明 nx 的極限點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn) 。 分析：根據(jù) Banach 壓縮映射原理的證明可以得到如下證明思路 : （ 1） 令 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點(diǎn) 。 注釋 :之所以把這個(gè)定理證明一遍是因?yàn)槎ɡ淼淖C明方法同樣適用于其他類型的壓縮映射原理下面的例子就要說明這個(gè)問題。 因?yàn)?X 為完備的度量空間， 所以 存在 x? 滿足 limnn xx??? ?， 所以 1nnTx x Tx x???? ? ?。 6 第二章 Banach 壓縮映射定理的證明思路探究 參考文獻(xiàn) [2]中記載有 Banach 壓縮映射定理 :設(shè) X 為完備的度量空間，:T X X? 且滿足 ? ? ? ?, , ,d Tx Ty kd x y? ? ?0,1k? ，則 T 在 X 內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。 ? ?16 1977年， ..BERhoades ，對(duì)于任意的 ,xy X? ， xy? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , , , , , ,d x y d x T x d y T y d x T y d y T x。 ? ?14 1977年， ..BERhoades ，存在 1ia?? ，其中 ? ? ? ? ? ?: 0, 0,1 ,iat ??單調(diào)減少，對(duì)于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?12, , , ,a d x y d x y a d x y d x T x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 4 5, , , , , ,a d x y d y T y a d x y d x T y a d x y d y T x? ? ?。 ? ?12 1973 年， .SMassa ， Zamflrescu ， ? ?0,1,h?? 對(duì)于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11m a x , , , , , , ,22h d x y d x T x d y T y d x T y d y T x????? ? ? ???? ? ? ???。 ? ?10 1972 年， ..S K Chatterjea， 10 , , ,2h x y X??? ? ? ????? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ?? ?, , ,h d x Ty d y Tx。 ??8 1972 年， Roux ， Socrdi ，對(duì)于任意 ,xy X? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , ,h d x T x d y T y d x y， 01h??。 ??6 1971年 ， Reich ， , , 0 , 1 , ,a b c a b c x y X? ? ? ? ? ? ?有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ?, , ,a d x T x b d y T y c d x y???。 ??4 1969 年， .RKannan ， 10 , , ,2h x y X??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ?, , ,d T x T y h d x T x d y T y??。 ??2 1962 年， Rakotch ，存在單調(diào)函數(shù) ? ? ? ? ? ?: 0, 0,1t? ??使得 ? ? ? ?? ? ? ?, , , ,d T x T y d x y d x y x y???。 例如， . . .LE J Brouwer就借助它界定了 n 維區(qū)域 ，科學(xué)家 ..JW Alexander則用它證明了 Betty 數(shù)的不變性 ，而壓縮映射原理則是不動(dòng)點(diǎn)理論中非常重要的一類定理 。 1910 年，布勞威爾對(duì)于任意的證明了這個(gè)猜想 ： 維數(shù)的拓?fù)洳蛔冃裕谧C明過程中， . . .LE J Brouwer構(gòu)造 了連續(xù)拓?fù)溆成?下的 單純 逼近 的概念， 主要是 一系列線性映射的逼近 的概念， 他還 構(gòu) 造了映射的拓?fù)涠鹊母拍?，即 一個(gè)取決于拓?fù)溆成溥B續(xù)變換的同倫類的數(shù) 。 隨后， Cantor 揭示了不同的 n 與空間 nR 的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 。 在 這個(gè) 定理 的 證明中， . . .LE J Brouwer引進(jìn)了從一個(gè)復(fù)形到另一個(gè)復(fù)形的映射類，以及一個(gè)映射的映射度等概念 。 建立 . . .LE J Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理是 一項(xiàng) 突出 的 貢獻(xiàn)．這個(gè)定理表明：在二維球面上，任意 一個(gè) 映到自身的一一連續(xù)映射， 存在 至少有一個(gè)點(diǎn)是 固定 不變的 。 . . .LE J Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理說明： 在 一個(gè)拓?fù)淇臻g中 ， 滿足一定條件的連續(xù)函數(shù) f ，存在一個(gè)點(diǎn) 0x ，使得 ? ?00f x x? ， . . .LE J Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理 的一個(gè)簡單 的 函數(shù) 形式是對(duì)一個(gè)從某個(gè)圓盤 D 映 射到它自身的函數(shù) f 。特別是近幾十年來，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人們使用各種各樣的迭代方法去逼近非線性映射 3 的不動(dòng)點(diǎn)并應(yīng)用其解決了某些是問題。 1910 年， . . .LE J Brouwer證明了有限維空間中多面體上的連續(xù)映射至少有一個(gè) 不動(dòng)點(diǎn)，從而開啟了不動(dòng)點(diǎn)理論研究的先河。 ，歷史淵源 隨著對(duì)壓縮映射原理的深入了解，我知道了泛函書中的壓縮映射原理只是 在1922 年提出的第一個(gè)代數(shù)型的壓 縮映射原理，壓縮映射原理還有其他各種各樣條件下的各種各樣的形式。 傳統(tǒng)的研究方向是將壓縮映射原理應(yīng)用在求數(shù)列極限，微分方程，積分方程，或者方程組解的存在唯一性等問題上，數(shù)列，微分方程，積分方程也是千變?nèi)f化，但只要可以根據(jù)具體條件構(gòu)造出壓縮映射，就可以應(yīng)用壓縮映射原理說明問題。 根據(jù)我的深入了解壓縮映射原理在概率方向也有著非常大的應(yīng)用，例如利用概率的知識(shí)模仿度量空間定義概率度量空間，定義概率中的范數(shù) t? 范數(shù)，由此得 到概率空間上的不動(dòng)點(diǎn)原理。 證明了壓縮映射原理后，下面的問題自然是推廣壓縮映射原理，也可以說是壓縮映射原理推論吧，就像數(shù)學(xué)分析中將洛爾定理推廣到拉格朗日定理，再將拉格朗日定理推廣到柯西定理那樣，在證明推廣的定理時(shí)，證明的方法和最開始的壓縮映射原理非常相似，至少在大的方向上是一樣的，根據(jù)具體的條件會(huì)有所差異。 要討論這個(gè)定理首先要從它的證明說起，第一次見到壓縮映射原理的證明也是在泛函分析的書上，但是書上并沒有嚴(yán)格的證明，至少我是接受不了，其中有一個(gè)關(guān)鍵步驟是極限要和映射交換順序，在數(shù)學(xué)分析中，極限和函數(shù)交換順序是要有條件限制的，比如函數(shù)是連續(xù)的，當(dāng)然現(xiàn)在我已經(jīng)用其他的方法證明出極限與壓縮映射是可以交換的了，由此得到了一個(gè)完善的證明壓縮映射原理的方法。另外我在考研究生參加復(fù)試的時(shí)候，當(dāng)時(shí)一位老師問我一個(gè)問題，問題是這樣的：在旅游景點(diǎn)甚至在學(xué)校內(nèi)的大門口經(jīng)常會(huì)見到有平面的小地圖，由此請(qǐng)問說明在小地圖上的一點(diǎn)適合大地圖上的一點(diǎn) 是重合的。 The fixed point. Probabilistic metric space。 第五章，引入概率度量空間的概念，和其中一系列與壓縮映射原理有關(guān)的概念，結(jié)合概率度量空間的一些特殊性質(zhì)，用前幾章的討論方法，在 概率度量空間上 討論壓縮映射原理，依次討論了含隨機(jī)數(shù)的壓縮映射原理，在概率度量空間上添加一些條件后的基本壓縮映射原理，非線性的壓縮映射原理及應(yīng)用 等 。 第四章，把前幾章得到的結(jié)論和方法應(yīng)用到了微分方程和微分方程組的解的存在唯一性上。 第二章， 介紹壓縮映射原理的最基本的形式 ， 即 Banach 壓縮映射原理 ，通過 對(duì)其定理內(nèi)容和證明方法的分析，深刻認(rèn)識(shí)了 Picard 迭代方法 在證明中起到的重要作用，總結(jié)出了一套通用的方法證明這類定理，還找了一個(gè)例子 ， 用總結(jié)出的方法進(jìn)行了證明。I 壓縮映射原理的性質(zhì) 和 應(yīng)用 摘 要 本文較有系統(tǒng) 的研究了壓縮映射原理及其一些應(yīng)用，由于壓縮映射原理是屬于不動(dòng)點(diǎn)理論中的一類原理，所以有許多不同的形式，本文主要利用在常規(guī)度量空間中討論壓縮映射原理的方法，在概率度量空間中討論壓縮映射原理。主要內(nèi)容如下： 第一章，是緒論部分，首先講了我之所以寫這篇文章的原因，然后是本文所研究問題的歷史背景和發(fā)展情況。 第三章，用第一章總結(jié)出的方法研究了壓縮映射原理更復(fù)雜的形式，隨著研究問題的復(fù)雜，也 使 第一章總結(jié)出的方法變得更加完善 。雖然只有兩個(gè)例子，但是獲得方法和思想可以用到許多其他的例子上。 關(guān)鍵詞 ： 壓縮映射 ；不動(dòng)點(diǎn)； 概率度量空間；非線性微分方程 II ABSTRACT In this paper, a systematic study of the pression mapping principle and some applications, because of the contraction mapping theory is one of the principle in belong to the theory of fixed point, so there are many different forms, this paper mainly discussed used in conventional metric space pression mapping principle, the method of contractive mapping principle in probabilistic metric space. The main contents are as follows: The first chapter is the introduction part, first of all tell the reason why I write this article, and then this paper studies the historical background and development of t