【正文】 個(gè)Euclid 空間的凸緊子集 映 射到它自身的函數(shù)都 能 成立。這一 結(jié)果 推廣到高維球面 就是 在 n 維球內(nèi)任意映到自身的連續(xù)映射至少 存在 一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) 。 有了這些概念， 我們 就 可以解決 一個(gè)流形上的向量場的奇點(diǎn) 等問題 。 .GPeano 研究出了 把單位線段連續(xù)映入正方形 的方法 ．這兩個(gè) 成果不禁使人們猜想： 在 拓?fù)?映射中，維數(shù)可能是不變的 。 這些概念在解決 一些有關(guān) 不變性 的 問題時(shí) 變得 非常有用 。 壓縮映射原理的簡介 根據(jù)參考文獻(xiàn) [1]， [4]， [7]中記載， 按照壓縮條件的不同，壓縮映射原理可以進(jìn)行如下分類： 設(shè) ? ?,Xd 為度量空間，映射 :T X X? ，稱為滿足下列第 ??i 個(gè)條件的映射為第 ??i 類壓縮映射，記為 ??Ti? ??1 1922 年， Banach ，對于任意的 ,xy X? 有 ? ? ? ? ? ?, , , 0 ,1d T x T y kd x y k??。 ??3 1961年， .MEdelstein ，對于任意的 ,xy X? ， xy? ，有 4 ? ?,d TxTy ? ?,dxy 。 ??5 1972 年， ..RM Bianchi ， ? ?0,1,h?? 對于任意 ,xy X? 有 ? ? ? ? ? ?? ?, m a x , , ,d T x T y h d x T x d y T y? 。 ??7 1971年， Reich ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , : 0 , 0 ,1a t b t c t? ? ?單調(diào)減少，? ? ? ? ? ? 1 , ,a t b t c t x y X? ? ? ? ?有 ? ?,d TxTy ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?, , , , , ,a d x y d x T x b d x y d y T y c d x y d x y? ? ?。 ??9 1972 年， ..V MSehgal ，對于任意的 ,xy X? ， xy? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , ,d x T x d y T y d x y。 ??11 1973 ， ..GEHardy ， ..TDRogers ，存在 1ia?? ，對于任意的 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? 1a ? ?,dxy + 2a ? ?,d xTx + 3a ? ?,d yTy + 4a ? ?,d xTy + 5a ? ?,d yTx 。 ??13 1971年， Ciric ， ? ?0,1,h?? 對于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1m a x , , , , , , , ,2h d x y d x T x d y T y d x T y d y T x?????。 ? ?15 1974 年， ..LBCiric ， ? ?0,1,h?? 對于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?m a x , , , , , , , , ,h d x y d x T x d y T y d x T y d y T x。 在這些壓縮映射中，若改為存在某個(gè)自然數(shù) p ，使 pT 滿足相應(yīng)條件，則又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，如果改為存在某兩個(gè)自然數(shù) ,pq，使得 ? ?,ppd T x T y 滿足不等式條件，又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，如果存在某個(gè)函數(shù) ??px，使得? ? ? ?? ?,p x q xd T x T y滿足壓縮映射條件，又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，若存在函數(shù) 5 ? ? ? ?, , ,p x y q x y，使得 ? ? ? ?? ?,p x y q x yd T x T y滿足壓縮映射條件，又可得到 16個(gè)壓縮映射定理，現(xiàn)在已經(jīng)有 80 種壓縮映射定理了，如果將映射改為映射對，又可得到 80 個(gè)壓縮映射定理，若改為映射序列，又有無數(shù)個(gè)壓縮映射定理了，度量空間 X 滿足什么性質(zhì)，映射 T 滿足什么條件，這些壓縮映射定理會(huì)成立呢？它們又會(huì)有哪些應(yīng)用呢？這些都是在論文中我要討論的問題。 證明 定義 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點(diǎn)，則根據(jù) 壓縮映射條件得 ? ? ? ?1 0 0,nnnd x x k d x Tx? ? ， 所以得 , ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, 1 , ,1 nnpn p n kd x x k k k d x Tx d Tx xk? ? ? ? ??? ? ? ?， 所以 ??nx 為 Cauchy 列 。 唯一性，略 。 例 子 設(shè) ? ?51 1ii at? ??，其中 ? ? ? ? ? ?: 0 , 0 ,1iat ??，定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，對于,x y x y X? ? ? ，有 ? ?,d TxTy? ? ?? ? ? ?1 ,a d x y d x y+ ? ?? ? ? ?2 ,a d x y d x Tx+ 7 ? ?? ? ? ?3 ,a d x y d Ty y+ ? ?? ? ? ?4 ,a d x y d x Ty+ ? ?? ? ? ?5 ,a d x y d Tx y，則 T 在 X 內(nèi)存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。 （ 2） 通過證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?，進(jìn)一步證明 ??nx 為 Cauchy 列 。 （ 4） 證明唯一性 . 下面就根據(jù)上述分析證明這個(gè)例題 . 證明 定義 0,nnx T x? 0x 為 X 中任意取定的一點(diǎn) ,接下來該證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?， 根據(jù) 壓縮映射條件得 , ,1nnd? ? 1a 1,nnd? + 2a 1,nnd? + 3a ,1nnd? + 4a 1, 1nnd?? + 5a ,nnd ， 其中記 ? ?, ,m n n md d x x? ，記 ? ?1,i i n na a d ?? 。 下面利用反證法證明 ? ?1lim , 0nnn d x x ??? ?,先假設(shè) ? ?1lim ,nnn d x x p??? ?0?， 下面證明 0p? 。 下證 ??nx 為 Cauchy 列 . 因?yàn)? ? ?, 1 1 1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 , 5 , 1,m n m n m n m m n n m n m nd d T x T x a d a d a d a d a d? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 1 , , 1 2 , 1 3 , 1 4 1 , , 5 , , 1,m m m n n n m m n n m m m n n m n na d d d a d a d a d d a d d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。 所以,lim 0mnmn d?? ?，即 ??nx 為 Cauchy 列 。 根據(jù)極限的唯一性，也即證 limnn x Tx??? ?，因?yàn)?? ? ? ?1,nnd x T x d T x T x???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 3 4 1 5, , , , ,n n n n na d x x a d x x a d x T x a d x T x a d x x? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 3 3 4 1, , , , ,n n n n n n na d x x a d x x a d x x a d x x a d x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?4 , na d Tx x? ? ?5 , nad x x?? ， 整理得 ， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 4 1 3 5341, , , ,1n n n nd x T x a d x x a a d x x a a d x xaa? ? ? ?????? ? ? ? ?????， 由此可得 ? ?lim , 0nn d x Tx??? ?，即 limnn x Tx??? ?。通過對證明方法的分析，也使我對壓縮映射原理理解的更為深刻。 10 第三章 Banach 壓縮映射原理的 推廣 推廣的背景 ： 在 第一章 中列舉有代數(shù)型壓縮映射原理共計(jì) 80 類， 根據(jù) 參考文獻(xiàn) [3]， 1977年， 數(shù)學(xué)家 ..BERhoades 提出了六個(gè)公開問題： (1) 若 f 為第 16 類壓縮映像， f 在 X 中連續(xù)而且若存在 0xX? , 而且 ? ?0nfx 有聚點(diǎn)，那么 f 是否有不動(dòng)點(diǎn)？ (2) 若（ 1）是錯(cuò)誤的猜想，那么修改成為什么條件可以保證 f 有不動(dòng)點(diǎn)？ (3) 當(dāng) f 是第（ 61）至（ 64）類的壓縮映像之時(shí)，會(huì)有怎樣的結(jié)論？ (4) 當(dāng) f 是第（ 68）至（ 80）類的壓縮映像之時(shí)，會(huì)有怎樣的結(jié)論？ (5) 局部壓縮能否推廣到（ 10）（ 26）（ 42）（ 58）（ 74）？ (6) 上面的 5 個(gè)問題對于映像對，序列時(shí)的情況又有什么樣的結(jié)論？ 對于上述問題，科學(xué)家的出了很多成果，本文主要是對證明方法的應(yīng)用，所以下面在種類繁多的壓縮映射原理中任選一個(gè)進(jìn)行證明。 定 理：若 T 為第九類壓縮映射時(shí)，即滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, m a x , , , , , , ,d T x T y d x y d y T y d x T x x y T? ? ? 連續(xù)，若存在 X?? 是 ? ?0 0n nTx??的聚點(diǎn)，則 ? 是 T 的唯一不動(dòng)點(diǎn)，且 0nTx?? 。 第二步： 與 第一步 中條件互補(bǔ)， 即 如果對于 ? ,k ??? ? ?100,0kkd T x T x? ?， 令 ? ?( ) , ,V x d x Tx x X??,那么滿足 ??Vx非負(fù)連續(xù) ，因?yàn)?T 為第九類壓縮映射 ，所以 ? ? ? ?,V Tx V x? 對于 x Tx?? ，因?yàn)椋? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?2, m a x , , , , , m a x , ,V T x d T x T T x d x T x d x T x d T x T x V x V x V T x? ? ?所以 ? ? ? ?,V Tx V x? 對于 xX?? 。 因?yàn)?? ?? ?0nV T x 單調(diào)遞減，非負(fù) ， 所以 ? ?0lim 0nn V T x r?? ??。 因?yàn)?T 連續(xù) ，所以 ? ? ? ? ? ?100l im l imii innnnV T x V T T x V T ??? ? ? ?????????，所以 ， ? ? ? ?V T V??? (極限的唯一性 )， 所以， T??? (否則， ? ? ? ?V T V??? )。 情況一， 如果 001nnT x T x?? ，那么當(dāng) 0nn? ， 000nnT x T x? ，所以 000lim nnn T x T x ??? ?? 情況二， 否則對于 ,k ???? 有 ? ?100, 0,kkd T x T x? ?因?yàn)?lim nn Tx ??? ?， 所以 ? ? ? ?000 100l im , , 0nnn d T x T x d T????? ??，所以 對于 0, ,J i J?? ? ? ?時(shí)，有 ? ? ? ?0 0 010 0 0, , ,n n nd T x T x d T x? ? ?? ??。 所以0lim nn Tx ??? ? 。 13 第四章壓縮映射原理的應(yīng)用舉例 簡單積分方程的解的存在與唯一性的證明 下面來證明非線性的積分方程的解的存在與唯一性定理 ，定理內(nèi)容取自參考文獻(xiàn) [6]。 構(gòu)造一： 令 ? ? ? ?? ?m a x , 0 , ,x x t t a?? ? ? ? ?? ?0,tT u v t k s t u s d s?? ? 則有 ? ?? ? ? ?? ?0m a x , , , ,tT g T h k s t g s k s t h s d s? ? ??La g h??， 若 1La? ，則原方程存在唯一解 ， 即在 ? ?0,C ? 中存在唯一解，其中 1min ,aL? ??? ????。 由于 11Lae???， 所以也 滿足壓縮映射原理 。 通過上面的證明自然會(huì)想到對于方程組的情況需要什么樣的條件，怎樣的證明？ 先研究兩個(gè)微分方程的情況，即 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?010020,ttx t x t k t s x sy t x t k t s y s??