淺析vandermonde行列式的性質(zhì)與應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-08 15:34本頁面
【正文】 兩端 項(xiàng)系數(shù))(xfk )(knVkx應(yīng)該相等，所以 1231236(3)pVa??????61)(ijja= )(3)(!?? )]1([)2()4(23?nn?? !n?)!1()!(n!1（2）法二：利用行列式性質(zhì)，改變?cè)辛惺街械脑?，產(chǎn)生以新元素為行（列）的Vandermonde 行列式.例 3 計(jì)算 階行列式)1(?n nnnnnn nn babaaD112111 21221221???????? ????? ?????其中 ， ， （ ）0?ibi ,?i?解 提取 各行的公因式，得：1?n 1?nDna?2?????1)(nijji（3）法三：如 階行列式 的第 行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相D鄰兩行（列）均含有相同分行（列） ，且 中含有 個(gè)分行（列）組成的nVandermonde 行列式，那么將 的第 行（列）乘以（ ）加到（ ）行（列） ，ni1?1?i消除一些分行（列） ，即可化成 Vandermonde 行列式 [8].例 4 計(jì)算行列式△ =4 43423323221312 22sinisinisinisini i1i1ii ???? ????解 在△ 的第 2 行中去掉與第一行成比例的分行，得到4△ =4 43423323221312 22sinisinisinisini iiii11???? ????在上面行列式的第 3 行中去掉與第 2 行成比例的分行，得到一個(gè)新的行列式，在此新行列式的第 4 行中去掉與第 3 行成比例的分行，得:△ = =4 43323213 2sinisini iiii1??????41)sin(ij j?（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）的元素不是相應(yīng)元素的零次冪（即該行（列）元素都不是 1） ，而是各行（列）元素的函數(shù)，利用行列式的性質(zhì)將這一行（列）元素化為全是 1 的元素.寧 夏 師 范 學(xué) 院 2022 屆 本 科 畢 業(yè) 生 畢 業(yè) 論 文10例 5 證明△ =3bacb?22證明 將△ 的第 1 行加到第 3 行上，得到3△ = =3 cbacba??222 221)(cbac)()((?? Vandermonde 行列式在多項(xiàng)式與向量空間中的應(yīng)用在線性方程組中，Cramer 法則有著非常重要的作用，它給出了一類重要的線性方， Vandermonde 行列式又是“重要”的數(shù)學(xué)元素相結(jié)合，其產(chǎn)生的作用將更重 行列式在多項(xiàng)式與向量空間中的應(yīng)用，主要就是結(jié)合 Cramer 法則來證明相關(guān)的問題 [9].下面一起來看幾個(gè)典型的例子. Vandermonde 行列式在多項(xiàng)式中的應(yīng)用例 6 證明一個(gè) n 次多項(xiàng)式至多有 n 個(gè)互異的根.證明 用反證法.設(shè) 有 n+1 個(gè)互異的根，分別為：nxaxaxf ????210)(，則有：21 , ,n? （ ）0)(210 ?niiii xxxf ? 1??ni即 ???? ???0 12110 22120 1nnn naxaxa????? ??這個(gè)關(guān)于 的齊次線性方程組的系數(shù)行列式是一個(gè)n , ,?寧 夏 師 范 學(xué) 院 2022 屆 本 科 畢 業(yè) 生 畢 業(yè) 論 文11Vandermonde 行列式: 則由 Cramer 法0)( 1 1121! 2211 ?????????nijjinnnxxxxx? ?????則知該方程組只有零解，即 ，而 n 次多項(xiàng)式 的20?naa? )(xf最高次項(xiàng)的系數(shù) 至多有 n )(xf例 7 設(shè)多項(xiàng)式 ， ， nkkk xaf ???21)( 0?i， ， ，則 不可能有非零且重?cái)?shù)大于 ?ji},21{,i??x1?證明 用反證法.設(shè) 是 的重?cái)?shù)大于 的根，則0?)(xf1?n0)(,0)(, 139。 ?nfff ?即： ???????? ?????0)2()1( )2()1( 02121 2212 nnnknn kkkk kakk ankaa????? ??? ???? ??把上式看作是以 為未知量的齊次線性方程組，則其nkka， ?21系數(shù)行列式為： )2()1()2()1()2()1( 11122 ?????? nkknkknkk nn???? ???? ???寧 夏 師 范 學(xué) 院 2022 屆 本 科 畢 業(yè) 生 畢 業(yè) 論 文121121???nnkk? ???? ?? ?????nijjk0)(由 Cramer 法則知上面的齊次線性方程組只有零解，從而 ),2,1(,0niaki ???因?yàn)?，所以必須 ，這與假設(shè) 矛盾，故 沒有非零且重?cái)?shù)大于0?ia??(xf的根. 1?n例 8 證明：對(duì)于平面上 n 個(gè)點(diǎn) （ 互不相等） ，必存),(ibanani, , 121??在唯一的一個(gè)次數(shù)不超過 n1 的多項(xiàng)式 通過這 n 個(gè)點(diǎn)，xf即 .iibaf?)()(1 i?分析 要證明 n 個(gè)等式成立，也就是要證明 n 個(gè)方程組成的方程組有解，很自然地會(huì)想到 Cramer 法則，再根據(jù)系數(shù)行列式的特點(diǎn)，考慮用 Vandermonde 行列式的結(jié)論.證明 設(shè) ，nnnn cxxcxf ??????121)(?要使 ，即滿足關(guān)于 的線性方程組：) i
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