行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用_畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-10-30 21:46本頁面
【正文】 ?? ?? （ 1） 其中 12, , , rp p p 為從小到大的行排列， 12, , , rq q q 為次序不定的列排列。又1 2 1 2, , , , , , ,r r r np p p p p p??與1 2 1 2, , , , , , ,r r r nq q q q q q??都為 1,2, ,n 的一個排列。 再者 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ] ,r r r n r r r n rp p p p p p p p p p p p p p p r? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? （ 3） 我們注意到 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )r r r n r r r np p p p p p p p p p p p? ? ?? ? ? ??? ， 因為 12, , , rp p p 中的任意項也會與 12, , ,r r np p p?? 中的任意項構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。所以有（ 3）式成立。比 1rq?項大的有 1rnq?? 項，而 12, , ,r r nq q q?? 中有 1nr?? 項，所以 12, , , rq q q 能 與 1rq? 構(gòu)成逆序的有 1( 1) rrq??? 項，同理在 12, , , rq q q 中能與 2rq? 構(gòu)成逆序的有 2( 2) rrq??? 項，依此類推，能與 nq 構(gòu)成逆序的有 nnq? 項。因此，我們有 7 1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ]= ( ) + ( ) (r r r r n r r nr r r n rr r n r r nr r r n r r np p p q q q p p p q q qp p p p p p p p p rq q q q q r q r q n qp p p p p p q q q q q p p p? ? ?????? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 121 2 1 2 1 2 1 1 2121 2 )( 1 ) ( 1 )[ ( 1 2 ) ( ) ]22( ) + ( ) 2 ( 1 2 ) ( )( ) .rrr r r n r r n rrrn n n nr q q qp p p p p p q q q q q r p p pq q q??? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 從而，有 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 1 11 2 1 2 1 2 1 1 2 1 21 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) + ( ) 2 ( 1 2 ) ( ) ( )( 1 )( 1 )(r r r r n r r nr r r r n nr r r n r r n r rr r r r n np p p q q q p p p q q qp q p q p q p q p qp p p p p p q q q q q r p p p q q qp q p q p q p q p qa a a a aa a a a a? ? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 21 1 2 2 1 1( ) + ( ) ( ) ( )1 ) .r r r n r r n r rr r r r n np p p p p p q q q q q p p p q q qp q p q p q p q p qa a a a a? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? 即 MM? 的一般項為 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1( ) + ( ) ( ) ( )( 1 ) r r r n r r n r r r r r r n np p p p p p q q q q q p p p q q q p q p q p q p q p qa a a a a?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? . 又 1 2 1 2( ) ( )( 1 ) rrp p p q q qAM? ? ? ? ? ? ? ??? 為 M 的代數(shù)余子式。 定理 1 若 D 為 n 階 行列式 ， 12,tM ,M M 為 D 的取定 r 行后得到的子式，12, , , tA A A 分別為 12, , , tM M M 的代數(shù)余子式。又 iiMA 與jjMA ()ij? 無公共項，所以只需證明兩邊項數(shù)相同便可得到上式。 其實，定理 1就是拉普 拉斯定理的簡單敘述，以上也給出了一般的證明方法。 現(xiàn)在來給出行列式乘法規(guī)則的第二種證明方法。 其實這不是偶然，引理 1 中的行列式 D 是 1D 的特例， 1D 是 D 得一般形式。 再根據(jù)引理 2 即可得到行列式的乘法規(guī)則。 證明 首先 作一個 2r 階的行列式 9 11 12 121 22 21211 12 1 11 12 121 22 2 21 22 21 2 1 20 0 00 0 00 0 0rrr r rrrrrrr r rr r r rrn n nn n nn n nDp p p m m mp p p m m mp p p m m m?. 令 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 21 2 31 2 1 2 1 2,r r rr r rr r rr r r rr r r rrn n n m m m p p pn n n m m m p p pn n n m
畢業(yè)設(shè)計相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1