【正文】 (,18141894)、雅可比 (,18041851)等人都對(duì)行列式的進(jìn)步起到了巨大的推動(dòng)作用 ]1[ 。數(shù)學(xué)家Chongying Dong,Fuan Li 等人 在 Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收錄到 Recent Developments in Algebra and Related Areas 一書(shū) 中 ]3[ 。 2 預(yù)備知識(shí) 為 了深入 學(xué)習(xí) Vandermonde 行列式的性質(zhì) 及其應(yīng)用，我們有必要回顧一下行列式的相關(guān)知識(shí)。 ② 每項(xiàng)nnppp aaa ?21 21應(yīng)帶正號(hào)或負(fù)號(hào)，以 1,2,…, n 的順序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)來(lái)比較排列 ( nppp , 21 ? )的逆序數(shù)是偶或奇而決定。 行列式的性質(zhì) ]4[ 性 質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 性質(zhì) 3 如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于 0。 性質(zhì) 5 一個(gè)行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外邊。 性質(zhì) 7 如果一個(gè)行 列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素 成 比例，那么這個(gè)行列式等于 0。同樣的性質(zhì)對(duì)于列來(lái)說(shuō)也成立。 行列式計(jì)算中的幾種基本方法 ]5[ 三角形法 就是利用 行列式的性質(zhì)，將給定的行列式化為上三角形或下三角形行列式，而上（下 ）三角形行列式的值即為其主對(duì)角線上所有元素的乘積。 Vandermonde 行列式的證法 方法一、 消元法 ]6[ 證：從第 n 行開(kāi)始，每一行加上前一行的 1a? 倍。重復(fù)用上述方法對(duì) 1?nV 進(jìn)行求解，經(jīng)過(guò)有限步可以得到： 1nV? =（ ( 21aa? ) … 1 1 1( )( )nna a a a? ??） ? ( ? ?3 2 1 2 2( ) .. .( )nna a a a a a?? ? ?)…( 1nnaa?? ) =1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 即證。假設(shè) 對(duì)于 1n? 階成立，對(duì)于 n 階有：首先要把 nV 降階，從第 n 行起后一行減去前一行的 1a? 倍，然后按第一行進(jìn)行展開(kāi)，就有 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ...( )n n nV a a a a a a V?? ? ? ?，于是就有 nV = ()ijaa??，其中 ? 表示連乘， ,ij的取值為 2 j i n? ? ? ，原命題得證。 Vandermonde 行列式的性質(zhì) 推 廣的性質(zhì)定理 ]7[ ：行列式 [ 1]kV? = 122 2 2121 1 1121 1 112121 1 ... 1......... ... ... ............ ... ... ......nnk k knk k knn n nnx x xx x xx x xx x xx x x? ? ?? ? ?=1212 ... ... nknk p p pp p p x x x V?? ?? (k=0,1,2…n 1), 其中 12, ... nkp p p ? 是 1,2,...n 中（ nk? ）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列。 證：（ i）在行列式 [ 1] 1, 2( ... )knV x x x? 中增補(bǔ)第（ 1k? ）行和（ 1n? ）列相應(yīng)的元素考慮（ 1n? ）階 Vandermonde 行列式 121 1 1 11212121 1 1 112121 1 ... 1 1...... ... ... ... ......( ) ( , ... , )......... ... ... ... ......nk k k knn k k k knk k k knn n n nnx x x xx x x xf x V x x x xx x x xx x x xx x x x? ? ? ?? ? ? ??? = 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ...( ) ( )nx x x x x x x x? ? ? ? ? 3 2 2 2( ) ...( ) ( )nx x x x x x? ? ? ? … … … … ()nxx? =12 1( ) ( ) . . . ( ) ( )n i jj i nx x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ?? (*) (ii)由 (*)式的兩端分別計(jì)算多項(xiàng)式 kx 中項(xiàng)的系數(shù)，在 (*)左端，由行列式計(jì)算： kx 的系數(shù)為行列式中該元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式 [ 1]( 1)kn kV? ??? ，在 (*)式右端，由多項(xiàng)式計(jì)算 12, ... nx x x 為 ( ) 0fx? 的 n 個(gè)不同根。 （ iii）比較 )(xf 中 kx 項(xiàng)的系數(shù)，計(jì)算行列式 ]1[?kV ，因?yàn)?(*)式左右兩端 kx 項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，所以 1212[ 1 ] , . . . 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( x x )nknkk n n kk p p p i jp p p j i nV x x x ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 即 1212[ 1 ] , . . . 1. . . ( x x )nknkk p p p i jp p p j i nV x x x ??? ? ? ???? ? （ **） 1212[ 1 ] , . . .( 1 ) . . . ( 0 , 1 , 2 . . . 1 )nknknkk p p pp p pV x x x V k n???? ? ? ? ? ? ?? 定理得證。特別，當(dāng)kn? 時(shí)，令 0p =1，（ **）式即為 Vandermonde 行列式 V。 例 6 設(shè) 12( ), ( ), , ( )nf x f x f x是 1n? 個(gè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，滿足 121 2 11 ( ) ( ) ( )n n n n nnx x f x x f x x f x?? ?? ? ? ? ? ?. 證明： 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0nf f f?? ? ? ?. 證：設(shè) 21 2 1( ) ( ) ( )n n n nnf x x f x x f x? ?? ? ? 1( ) ( 1 )p x x x?? ? ? ?，取22c o s sinwinn????，分別以 21, , , nx w w w ?? 代入，可得 21 2 12 2 ( 2 )1 2 11 ( 1 ) ( 2 )1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0nnnnn n nnf w f w ff w f w ff w f w f????? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ??，這個(gè)關(guān)于 1 2 1(1), (1), , (1)nf f f ?的齊次線性方程組 的系數(shù)行列式為 22 2 ( 2 )1 ( 1 ) ( 2 )11 01nn