【正文】 154321?eeddccbbbbbaaaaa 證明： 行列式的一般項可表成 .54321 54321 jjjjj aaaaa列標(biāo) 543 , jjj 只能在 5,4,3,2,1中取不同的值，故 543 , jjj 三個下標(biāo)中至少有一個要取 5,4,3 中的一個數(shù)，則 任意一項 里至少有 一個 0 為因子，故 任一項必為零，即原行列式 的值為 零 . 利用行列式的性質(zhì)計算 例 2 一個 n 階行列式ijn aD ?的元素 都 滿足 njiaa jiij ,2,1, ???? ， 那么nD 叫做 反對稱行列式 ,證明：奇數(shù)階 的 反對稱行列式 的值等于 0. 證明： 由 jiij aa ?? 知 iiii aa ?? ， 即 niaii ,2,1,0 ??? 6 所以 行列式 nD 可寫 為0000321323132231211312????????nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD???????， 再 由行列式的性質(zhì) 2， 39。 一個典型的例子是范德蒙德行列式 . 113121122322213211111?????nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD???????? 分析：如果第一行全是 1把第一行變出一排 0其他位置將會變得不好掌握，所以通過把第一列變出一排 0來降階；并且，為了使 降階后的行列式仍然具有原來的形式，不能用第一行的若干倍加到其他各行的辦法，而用逐行變零的方法 . 解： 同上題， 第 n 行減第 1?n 行的 1a 倍，第 1?n 行減第 2?n 行的 1a 倍，即由下而上逐次地從每一行減它上一行的 1a 倍， 有 原式21123113221121231232122113120001111?????? ??????????nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa???????? 2112311322112123123212211312?????? ??????????nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????? 9 22322223223211312111)())((???????nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa???????? 111312 )())(( ????? nn Daaaaaa ?. 其中行列式 1?nD 仍然是同樣形式的但階數(shù)少 1的范德蒙德行列式，所以可以按同樣的辦法反復(fù)降階 .從上面的計算知道， 這樣的辦法做一次，出現(xiàn)的因式是第一列后面的每列的字母 ja 減去第一列的字母的差之積 .因此得 111312 )())(( ????? nnn DaaaaaaD ? 22242311312 )())(()())(( ????????? nnn Daaaaaaaaaaaa ?? )()())(()())(( 12242311312 ???????????? nnnn aaaaaaaaaaaaaa ???. 所以階范德蒙德行列式為 ???? ?? nij jin aaD 1 ）（. 拆項法 把給定的行列式的某一行或者某一列的元素表述為 兩數(shù) 之 和的形式，再 根據(jù)行列式的性質(zhì)把 原行列式表示為兩行列式的 和 的方法叫做拆項法 .把一個繁瑣的行列式化簡為兩個 簡單的 行列式 ， 把問題簡單化以便于 計算 . 例 4 計算行列式 nnnnnaaaaaaaaaD?????????????21221211. 解 ：nnnnnaaaaaaaaaD???????????2122121+nnnnaaaaaa???????????2222100 nnaaa????????0000 221化簡 +11 ?nD? 1121 ??? nn Da ??? ? 10 ?? )1(121 ????ni iin a???? ? . 用范德蒙德行列式 計算 例 5 計算nnnnnnnD???????222333222111? . 解： nD 中的各行元素都各自 是一個數(shù) 不同 的 方冪，方冪 的 次數(shù) 從左到右依次遞升，次數(shù) 由 1 遞升至 n .提取出每一行的公因數(shù)，那么 方冪 的次數(shù)就 由 0 增至 1?n ， 得 到 112121331221111!????nnnnnnnD??????? 上等式右端 的 行列式 是 n 階范德蒙德行列式，由（ 251）公式得 )]1([)2()24)(23()1()13)(12(! ?????????? nnnnnD n ??? !1!2)!2()!1(! ???? nnn . 化三角形法 把 原 有的 行列式 簡 化為上（下）三角形或 者 對角形 或者 階梯形 行列式 計算 的方法 叫做化三角形法 。它 的一般做法是： 111 111 1 1 11 121 221 2 2 21 21111 1 0 0000nnnnnn n nn nnn nn n n nnaaaaa a b a aaaD a a b a aaaa a b a a? ? ? 特殊情況取 121 ???? naaa ? 或 121 ???? nbbb ? . 讓我們以例 6為例 12 mxxxxmxxxxmxxxxmxxxxmxxxxmxnnnnnnn????????????????????212121212121210001加邊得到階行加到第把第一行分別乘)1(210010010011)1,2(1??????????nnmmmxxxnnii?????????階行提取第)1(211001010100111)()1,2)((???????????nnnmxmxmxmnnimi????????? 1000010000101)(132211?????????mxmxmxmxmnnniin????????列加到第一列，第列，列，第把第 )1()( 1?????niin mxm . 拉普拉 斯定理的運用 拉普拉斯定理：設(shè)任意 取定 行列式 D 中的 )11( ??? nkk 個行 .那么行列式 D就等于 這 k 行元素所構(gòu)成 的 所有 k 級子式和 它們的代數(shù)余子式的乘積的和 . 例 7 計算 n2 階行列式1111dcdcbabaDnnnnn?????. 13 解： 由 拉普拉斯展開定理 ， 按 照 第 1行和第 n2 列展開得 11111 )( ??? nn DcbdaD . )1(2 ?n 階 的 行列式 1?nD 也按同樣方法展開， 得 222221111 ))(( ???? nn DcbdacbdaD . 依次類推，得 ?? ??ni iiiin cbdaD 1 )(. 行列式計算的 Matlab 實驗 除了上述幾 種常規(guī)方法，還可以借助一些數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計算，它不僅簡便易操作，而且計算效率高。2 4 2。1 2 1 4。3 1 2 11] b=[4 6 7 17]39。c d] det(A) 運行后得 到結(jié)果為 a*d b*c.（見附錄 3） 15 3. 行列式的 應(yīng)用 行列式 應(yīng)用 在解析幾何中 根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充要條件這一重要結(jié)論 ， 在 中學(xué)解析 幾何中直線方程、圓錐曲線方程 中可以