【正文】 按對角線法共有 8 項代數(shù)和； 4! = 24 項 . 但按定 義，共有 n 階行列式？ 二、 n 階行列式 2022/6/4 10 Example 4 證明 n 階下三 角行列式 (當 i j 時， aij = 0， 即主對角線以上元素全為零 ) 1121 2211 2212000n nnn n nnaaaD a a aa a a??2232 33111123000( 1 )n n nnaaaaa a a???1121 2212000nn n nnaaaDa a a?Proof : 對 n 作數(shù)學歸納法， n = 2 時，結(jié)論顯然成立 , 假設結(jié)論對 n1 階下三角行列式成立，則由定義得 右端行列式是 n1 階下三角行列式，根據(jù)歸納假設得 Dn = a11a22… ann 特別地，主對角行列式 112211 22000000n nnnnaaD a a aa??二、 n 階行列式例子 2022/6/4 11 2 ( 1 )3 ( 2 ) 3 ( 1 )111 ( 1 ) ( 1 )000( 1 )nnnnnn n n n naaaaa a a????????( 1 )2 1 2 ( 1 ) 1( 1 )nnn n na a a????( 1 ) ( 2 )1 21 2 ( 1 ) 3 ( 2 ) 1( 1 ) ( 1 )nnnn n n n nD a a a a?????? ? ?? ?1( 1 )2 ( 1 ) 221 2 ( 1 ) 11 ( 1 )0001nnnnnn n n nn n n nnaaaD a a aa a a????? ? ?Example 5 證明 n 階行列式 Proof : 對 n 作數(shù)學歸納法， n = 2 時，結(jié)論顯然成立 , 假設結(jié)論對 n1 階行列式成立，則由定義得 12 ( 1 ) 21 ( 1 )000nnnnn n n nnaaaDa a a???根據(jù)歸納假設得 特別地， 1( 1 )2 212( 1 )nnnn??? ? ?????二、 n 階行列式例子 2022/6/4 12 第二節(jié) 行列式性質(zhì)與展開定理 2022/6/4 13 行列式的計算是一個重要卻很麻煩的問題 . n 階行列式共有 n! 項 ，計算它需要 n!(n1) 次乘法 , 直接用定義計算行列式幾乎是不可能的 . 因此，有必要進一步討論行列式的 性質(zhì) ，利用這 些性質(zhì)簡化行列式的計算 . 說明 1： 一、行列式按行（或列）展開定理 一般 說來，低階行列式的計算比高階行列式的計 算更簡便，所以，是否可用 低階行列式 表示高階行列 式，行列式定義已表示 n 階行列式可按第一行展開 . 2022/6/4 14 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a? 2 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 31 1 2 1 3 13 2 3 3 3 2 3 3 2 2 2 3a a a a a aa a aa a a a a a??? 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1a M a M a M?? ? 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1a A a A a A?? 此式說明三階行列式也可以關于第一列展開 . 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a?1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2a a a a a a a a aa a a a a a a a a??? ? ??2 1 1 2 3 3 1 3 3 2 2 2 1 1 3 3 1 3 3 1 2 3 1 1 3 2 1 2 3 1( ) ( ) ( )a a a a a a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ?? 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 22 1 2 2 2 33 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2a a a a a aa a aa a a a a a? ? ?說明 2： 三 階行列式的另幾種表達 2022/6/4 15 ? 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3a M a M a M? ? ?? 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3a A a A a A??1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a? 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 22 1 2 2 2 33 2 3 3 3 1 3 3 3 1 3 2a a a a a aa a aa a a a a a? ? ?1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3a a aa a aa a a 此式說明三階行列式也可以關于第一列展開 . Theorem 1 行列式等于它的某一行（或列）的元素與 其對應的代數(shù)余子式的乘積之和，即 1 1 2 21. . . ( 4 )nn i i i i i n i n i k i kkD a A a A a A a A?? ? ? ? ? ?1 1 2 21. . . ( 5 )nn j j j j n j n j k j k jkD a A a A a A a A?? ? ? ? ? ?或 可用數(shù)學歸納法 證明之 一、行列式按行（或列）展開定理 2022/6/4 16 利用 Th . 1 可降低行列式的階數(shù)，便于計算 . Example 6 計算 0 2 3 00 4 5 00 1 0 32 0 1 3D ?Solution: 2 3 02 4 5 01 0 3D ?? 2323 45? ? ?按第一列展開 = 12 二 、行列式展開實例 2022/6/4 17 記 11 12 121 22 212nnn n nna a aa a aDa a a? (6) 11 21 112 22 212nnTn n nna a aa a aDa a a? (7) 稱行列式 DT 為行列式 D 的轉(zhuǎn)置 (Transposition)行列式 . Definition 3 將 D 中的行與列互換 也記 D’ Property 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 . Proof 由 可知，在行列式中，行與列具有相等的 地位 . 因而，行列式對其行具有的性質(zhì)，對列也成立 . 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 18 Property 1 的證明 Proof : 對行列式的階數(shù)用數(shù)學歸納法 . 階數(shù)為 2， 結(jié) 論顯然成立 . 假設 階數(shù)為 n – 1 時，結(jié)論成立 . 當階數(shù)為 n 時 ， Dn = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n 按定義（按第一行展開）得 由歸納假設 11 11 12 12 1 1T T Tn n nD a A a A a A? ? ? ?按 ，上式右端是 按第一列展開式，即 11 11 12 12 1 1T T T Tn n nD a A a A a A? ? ? ?TnD