【正文】 我們的科研和生活服務(wù)。張老師 嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度使我受益匪淺 .在論文寫作的這段時間里 ,他時刻關(guān)心著我的論文完成情況 ,并時常給我指出論文中的缺點和需要改進(jìn)的地方 ,最后才能使得我順利完成論文。按 11 , xxx nn ?? 的次序排列時， inD, 的首項為 `11 ?? inn xxx ? （ nV 的首項 ） ，故知 f 的首項為 `11 ?? inn xxx ? ，由此可得到 inf ??? . 法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方冪，只 有一行（列）的元素不是相應(yīng)元素的零次冪（即該行（列）元素都不是 1），而是各行（列）元素的函數(shù)，利用行列式性質(zhì)將這一行（列）元素化為全是 1 的元素。 例 8 計 算 nnnnnnD??????22 222111? 解： nD1212122211111!???nnnnnn??????? )]1([)2()24)(23()1()13)(12(! ?????????? nnnnn ??? !1!2)!2()!1(! ?????? ?nnn . 法二 利用行列式性質(zhì)，改變原行列式中的元素，產(chǎn)生以新元素為行（列）的 Vandermonde 行列式。12... nkpp p??表示對所有（ nk? ）階排列求和。 例 1 計算 n 級行列式 ............ . .. . .. . .. . .. ....nx a a aa x a aD a a x aa a a x?. 分析 該行列式具有各行（列）元素之和相等的特點 .可將第 n,3,2 ? 列（行）都加到第一列（行）（或第 121 ?n， ? 列（行）加到第 n 列 (行 )），則第 1（或 n ）列（行）的元素相等，再 進(jìn)一步化簡即可化為三角 形行列式 或次三角行列式 . 解 1( 1 ) ... ( 1 ) ...( 1 ) ... [ ( 1 ) ] ( )... ... ... ... ...( 1 ) ...nnx n a a a x n a a ax n a x a x aD x n a x ax n a a x x a?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 加邊法或升級 法 例 2 計算 n 級行列式 123........... . .. . .. . .. . .. ....nna b b bb a b bD b b a bb b b a? ( , 1, 2, ..., )ib a i n?? 分析 該行列式的各行（列）含有共同的元素 bbb , ? 可在保持原行列式值不變的情況 下，增加一行一列（稱為升級發(fā)或加邊法），適當(dāng)選擇所增加行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素 . 解 121 ...000nnb b ba b bD b a bb b a升 級?1211 0 01 0 01 0 0 nb b bababab???? ?1121nnbbb b ba b a bababab? ? ????121 1[ 1 ] ( ) ( ) ( )nni ib a b a b a bab?? ? ? ? ??? 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法 例 3 計算 n 級行列式 2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0.0 0 0 2 10 0 0 1 2nD??????? 分析 對于三對角或次三對角行列式，按其第 1 行（列）或第 n 行（列） 展開得到兩項的遞推關(guān)系，再利用變形遞推的技巧求解 . 解 121 1 21 1 0 0 00 2 1 0 00 1 2 0 01 2 ( 1 ) ( 1 ) 20 0 0 2 10 0 0 1 2n n n nD D D D?? ? ?????? ? ? ? ? ???按 第 行 展 開 直接遞推不易得到結(jié)果（按低級是可以 的 ），變形得 1 2 11 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) n nD D D D n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 行列式的一種特殊類型 —— Vandermonde 行列式 定 義 2 我們把型如 nV?121 1 1121 1 .. . 1..... . .. . .. . .. ....nn n nna a aa a a? ? ?=1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 的 行列式叫做 Vandermonde 行列式 ，其中1 ()ijj i n aa? ? ? ??表示 12, ,...i i ina a a 這 n 個數(shù)碼的所有可能（ijaa?， ji? ）因子共 2nc 項的乘積（ 2n? ）。 性質(zhì) 4 把一個行列式的某一行 (列 )的所有元素同乘以某一個數(shù) k ,等于以數(shù) k乘這個行列式。 本文通過在行列式基本性質(zhì)了解的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討一種特殊的行列式—— Vandermonde 行列式的相關(guān)性質(zhì) 及其應(yīng)用。 Vandermonde 1 引言 在中學(xué)數(shù)學(xué)和解析幾何里，我們學(xué)習(xí)過兩個未知量和三個未知量的線性方程組及其解法 。而行列式的計算具有一定的 規(guī) 律性和 技巧性。經(jīng)過一段時間的發(fā)展，法國數(shù)學(xué)家范德蒙 (,17351796) 對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離。 ② 每項nnppp aaa ?21 21應(yīng)帶正號或負(fù)號，以 1,2,…, n 的順序為標(biāo)準(zhǔn)來比較排列 ( nppp , 21 ? )的逆序數(shù)是偶或奇而決定。 性質(zhì) 7 如果一個行 列式有兩行（列）的對應(yīng)元素 成 比例，那么這個行列式等于 0。重復(fù)用上述方法對 1?nV 進(jìn)行求解，經(jīng)過有限步可以得到： 1nV? =（ ( 21aa? ) … 1 1 1( )( )nna a a a? ??） ? ( ? ?3 2 1 2 2( ) .. .( )nna a a a a a?? ? ?)…( 1nnaa?? ) =1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 即證。 （ iii）比較 )(xf 中 kx 項的系數(shù)，計算行列式 ]1[?kV ，因為 (*)式左右兩端 kx 項系數(shù)應(yīng)該相等，所以 1212[ 1 ] , . . . 1( 1 ) ( 1 ) . . . ( x x )nknkk n n kk p p p i jp p p j i nV x x x ????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 即 1212[ 1 ] , . . . 1. . . ( x x )nknkk p p p i jp p p j i nV x x x ??? ? ? ???? ? （ **） 1212[ 1 ] , . . .( 1 ) . . . ( 0 , 1 , 2 . . . 1 )nknknkk p p pp p pV x x x V k n???? ? ? ? ? ? ?? 定理得證。下面用加邊法。 ?? ? ??? nfff ?，進(jìn)而 0)(,),(,0)( )1(