【導(dǎo)讀】方程組、矩陣、向量空間和線性變換的基礎(chǔ)。而行列式的計(jì)算具有一定的規(guī)律性和技。Vandermonde行列式是一類很重要的行列式。本文系統(tǒng)的闡述了Vandermonde. 行列式在科研和實(shí)踐生活中如何更好的應(yīng)用。但是在數(shù)學(xué)研究和實(shí)際問題的解決過程中，經(jīng)常會(huì)遇到由多個(gè)。未知量而組成的多個(gè)方程組，并且未知量的個(gè)數(shù)和方程組的個(gè)數(shù)也未必相等。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和分別發(fā)明了行列式。經(jīng)過一段時(shí)間的發(fā)展，法國(guó)數(shù)學(xué)家范德。把行列式理論與線性方程組求解相分離。等人都對(duì)行列式的進(jìn)步起到了巨大的推動(dòng)作用]1[。當(dāng)代數(shù)學(xué)家BernardKolman對(duì)行列式又做了進(jìn)一步的解析與應(yīng)用]2[。下行列式的相關(guān)知識(shí)。,n)排成n行n列并寫成。,n的順序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)來(lái)比較排。)的逆序數(shù)是偶或奇而決定。性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式改變符號(hào)。性質(zhì)3如果一個(gè)行列式有兩行（列）完全相同，那么這個(gè)行列式等于0。應(yīng)元素上，行列式不變。列（行）的元素相等，再進(jìn)一步化簡(jiǎn)即可化為三角形行列式或次三角行列式.

　　

【正文】 ??????21112111121121,111???????. 解：注意此 行列式與 Vandermonde 行列式的區(qū)別在于 jx 的冪跳過 ijx ，我們自然會(huì)想到把缺了的冪補(bǔ)起來(lái)，再利用 Vandermonde 行列式，故令 nnnnniiniinnnzxxxzxxxzxxxzxxxV?????????????2121212111111),( ?? = ),()())(( 2121 nnn xxxVxzxzxz ?? ???? = ),( 21 nn xxxV ? ?? ???? niiinin z0 )1( ?. 另一方面，對(duì) ),( 211 zxxxV nn ?? 按最后一列進(jìn)行 Laplace 展開，可知 iz 的代數(shù)余子式是 ininD ??? )1(, .因此 視 ),( 211 zxxxV nn ?? 為 z 的多項(xiàng)式，則 ininD ??? )1(, 應(yīng)是 iz 的系數(shù)，故 ininD ??? )1(, ? （ iz 的系數(shù)） ),( 21 nnin xxxV ??? ? ? in?? ???? ?nij ji xx1 )(. 注 1 缺行 Vandermonde 行列式也叫做超 Vandermonde 行列式或準(zhǔn) Vandermonde行列式。 注 2 ① 利用此例中的添加一些行和列的方法，還可計(jì)算跳過兩個(gè)冪的超Vandermonde 行列式 ，及其他行列式。 ② 注意當(dāng) ik xx? 時(shí)， inD, 0? ，故 inD, 也含因子 ik xx? 。特別，知),(),( 2121, nnnin xxxfxxxVD ?? ?? .因 inD, 和 ),( 21 nn xxxV ? 都是齊次及對(duì)稱多項(xiàng)式 [12] ，故 ),( 21 nxxxf ? 應(yīng)是 in? 次齊次對(duì)稱多項(xiàng)式。按 11 , xxx nn ?? 的次序排列時(shí)， inD, 的首項(xiàng)為 `11 ?? inn xxx ? （ nV 的首項(xiàng) ） ，故知 f 的首項(xiàng)為 `11 ?? inn xxx ? ，由此可得到 inf ??? . 法五 行列式中其他各行（列）都是元素的不同方冪，只 有一行（列）的元素不是相應(yīng)元素的零次冪（即該行（列）元素都不是 1），而是各行（列）元素的函數(shù)，利用行列式性質(zhì)將這一行（列）元素化為全是 1 的元素。 例 12 證明 △ 3 =baaccbcbacba???222 . 證：將 △ 3 的第 1 行加到第 3 行上，得到 △ 3 =cbacbacbacbacba??????222 =222111)(cbacbacba ?? ))()()(( bcacabcba ?????? . Vandermonde 行列式 在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用 [8] 例 13 設(shè)多項(xiàng)式 nhnhh xxxxf ??? ???? ?21 21)( ， 0?i? ， ni ,2,1? ；jikk ji ?? , ， },2,1{, nji ?? ， 則 )(xf 不可能有非 零且重?cái)?shù)大于 1?n 的 根。 證明：反設(shè) 0?? 是 )(xf 的重?cái)?shù)大于 1?n 的根 ，則 0)(,),(,0)( )1(39。 ?? ? ??? nfff ?，進(jìn)而 0)(,),(,0)( )1(139。 ?? ?? ????? nn fff ?即 ????????????????????????????0)2()1()2()1()2()1(0021212122221111221121nnnhnnnnhhhnnhhhnhhankkkankkkankkkakakakaaa??????????????? （ 3） 把（ 3）看作以 nhnhh aaa ??? ，， ?21 21 為未知量的齊次線性方程組，則（ 3）的系數(shù) 行列式為 )2()1()2()1()2()1()1()1()1(111222111221121????????????nkkknkkknkkkkkkkkkkkknnnnnn??????????? 1121121111????nnnnnkkkkkk??????????? ??? nij ji kk1 0)( . 故方程組（ 3）只有零解，從而 nia hi ,2,1,0 ???? ，因此必須 0?? ，這與 0?? 矛盾，故 )(xf 沒有非零且重?cái)?shù)大于 1?n 的根 。 4 小結(jié) 以 上 我 們?cè)?回 顧 行 列 式 相 關(guān) 知識(shí) 的 基 礎(chǔ) 上 ， 進(jìn) 一步 系 統(tǒng) 的 闡 述 了Vandermonde 行列式 的一些重要性質(zhì)和應(yīng)用等知識(shí)。以便更好的為我們的科研和生活服務(wù)。 參考文獻(xiàn) : [1]張賢科，許甫華 .高等代數(shù) [M].清華大學(xué)出版社 ， 1998 [2]盧剛，馮翠蓮 .線性代數(shù) [M].北京大學(xué)出版社， [3]Bernard Kolman,David Algebra, High Education Press， 2020,7. [4]樊惲，鄭延履，劉合國(guó) .線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo) [M].北京 :科學(xué)出版社， [5]萬(wàn)勇，李兵 .線性代數(shù) [M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社， [6]毛綱源 .線性代數(shù)解題方法技巧歸納 [M].武漢：華中科技大學(xué)出版社， [7]蘇醒僑，盧陳輝 .線性代數(shù) .冶金工業(yè)出版社， [8]王新長(zhǎng)， Vandermonde 行列式在 高等代數(shù)中的應(yīng)用 [J]，井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）， 2020 年 23（ 5）， 5458. [9]Linear Algebra and It’s Applications， David [美 ]沈復(fù)興，傅鶯鶯，莫單玉等譯 .人民郵電出版社 . [10]宴林，范德蒙行列式的應(yīng)用 [J],文山師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)， 2020， 13（ 2），5557. [11]劉建中，范德蒙行列式的一個(gè)性質(zhì)的證明及其應(yīng)用 [J],河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2020， 20（ 1）， 8485. [12]張禾瑞 , 高等代數(shù) [M],北京：高等教育出版社， 1989， 7. [13]Chongying Dong,Fuan Li. Recent Developments in Algebra and Related Education Press,. 謝 辭 在論文的選題及撰寫過程中得到 我的指導(dǎo)教師張慶祥教授 的悉心指導(dǎo) ， 在此表示 衷心 的 感謝 。張老師 嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度使我受益匪淺 .在論文寫作的這段時(shí)間里 ,他時(shí)刻關(guān)心著我的論文完成情況 ,并時(shí)常給我指出論文中的缺點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方 ,最后才能使得我順利完成論文。同時(shí)感謝其他 所有幫助過我的老師、 同學(xué) 以及一起努力過的朋友 。 (全文共 10331 字 ) .