【正文】 參考文獻(xiàn) : [1]張賢科，許甫華 .高等代數(shù) [M].清華大學(xué)出版社 ， 1998 [2]盧剛，馮翠蓮 .線性代數(shù) [M].北京大學(xué)出版社， [3]Bernard Kolman,David Algebra, High Education Press， 2020,7. [4]樊惲，鄭延履，劉合國 .線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo) [M].北京 :科學(xué)出版社， [5]萬勇，李兵 .線性代數(shù) [M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社， [6]毛綱源 .線性代數(shù)解題方法技巧歸納 [M].武漢：華中科技大學(xué)出版社， [7]蘇醒僑，盧陳輝 .線性代數(shù) .冶金工業(yè)出版社， [8]王新長， Vandermonde 行列式在 高等代數(shù)中的應(yīng)用 [J]，井岡山師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)）， 2020 年 23（ 5）， 5458. [9]Linear Algebra and It’s Applications， David [美 ]沈復(fù)興，傅鶯鶯，莫單玉等譯 .人民郵電出版社 . [10]宴林，范德蒙行列式的應(yīng)用 [J],文山師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)， 2020， 13（ 2），5557. [11]劉建中，范德蒙行列式的一個性質(zhì)的證明及其應(yīng)用 [J],河北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2020， 20（ 1）， 8485. [12]張禾瑞 , 高等代數(shù) [M],北京：高等教育出版社， 1989， 7. [13]Chongying Dong,Fuan Li. Recent Developments in Algebra and Related Education Press,. 謝 辭 在論文的選題及撰寫過程中得到 我的指導(dǎo)教師張慶祥教授 的悉心指導(dǎo) ， 在此表示 衷心 的 感謝 。特別，知),(),( 2121, nnnin xxxfxxxVD ?? ?? .因 inD, 和 ),( 21 nn xxxV ? 都是齊次及對稱多項(xiàng)式 [12] ，故 ),( 21 nxxxf ? 應(yīng)是 in? 次齊次對稱多項(xiàng)式。 例 6 設(shè) 12( ), ( ), , ( )nf x f x f x是 1n? 個復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，滿足 121 2 11 ( ) ( ) ( )n n n n nnx x f x x f x x f x?? ?? ? ? ? ? ?. 證明： 1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0nf f f?? ? ? ?. 證：設(shè) 21 2 1( ) ( ) ( )n n n nnf x x f x x f x? ?? ? ? 1( ) ( 1 )p x x x?? ? ? ?，取22c o s sinwinn????，分別以 21, , , nx w w w ?? 代入，可得 21 2 12 2 ( 2 )1 2 11 ( 1 ) ( 2 )1 2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0nnnnn n nnf w f w ff w f w ff w f w f????? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ??，這個關(guān)于 1 2 1(1), (1), , (1)nf f f ?的齊次線性方程組 的系數(shù)行列式為 22 2 ( 2 )1 ( 1 ) ( 2 )11 01nnn n nwwwwww??? ? ??， 因此 1 2 1(1 ) (1 ) (1 ) 0nf f f ?? ? ? ?. Vandermonde 行列式的 翻轉(zhuǎn)與變形 . 將 Vandermonde 行列式逆時針旋轉(zhuǎn) 90 ，得 11 ( 1 )11 211111 ( 1 )1nnnn nnnnnnxxxx Dxx?? ??????. 將 Vandermonde 行列式順時針旋轉(zhuǎn) 90 ，得 1111 ( 1 )22 2111 ( 1 )1nn nnnnnnxxxx Dxx?? ????. 將 Vandermonde 行列式旋轉(zhuǎn) 180 ，得 1 1 111111 1 1n n nnnnnx x xDx x x? ? ????. 3． 4 Vandermonde 行列式的應(yīng)用 Vandermonde 行列式在 Cramer 法則中的應(yīng)用 . 例 7 設(shè) , 21 naaa ? 是互不相同的數(shù)，求解下面的方程組 ??????????????????????? 11212111221121 1nnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxaxxx????. 解 ： 系數(shù)行列式為 1121121111????nnnnnaaaaaaD?????????? ?? nij ji aa1 )( ?kD ???? ?nij ji aa1 )(，其中 bak? ，所以 )())(()1( )())(()( 11 111 knkkkkk nkkkk aaaaaaa babaababDDx ???? ?????? ?? ?? ?? ??， nk ,2,1 ?? . 如何利用 Vandermonde 行列式 計(jì)算行列式 ]6[ 法一 所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪次數(shù)或其排列與 Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列好似性質(zhì)（如提取公因式，調(diào)換各行（列）的次序等）將行列式化為 Vandermonde 行列式。 Vandermonde 行列式的性質(zhì) 推 廣的性質(zhì)定理 ]7[ ：行列式 [ 1]kV? = 122 2 2121 1 1121 1 112121 1 ... 1......... ... ... ............ ... ... ......nnk k knk k knn n nnx x xx x xx x xx x xx x x? ? ?? ? ?=1212 ... ... nknk p p pp p p x x x V?? ?? (k=0,1,2…n 1), 其中 12, ... nkp p p ? 是 1,2,...n 中（ nk? ）個數(shù)的一個正序排列。 行列式計(jì)算中的幾種基本方法 ]5[ 三角形法 就是利用 行列式的性質(zhì)，將給定的行列式化為上三角形或下三角形行列式，而上（下 ）三角形行列式的值即為其主對角線上所有元素的乘積。 性質(zhì) 3 如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于 0。數(shù)學(xué)家Chongying Dong,Fuan Li 等人 在 Vandermonde 行列式方面的最新研究也被收錄到 Recent Developments in Algebra and Related Areas 一書 中 ]3[ 。 Vandermonde determinant。 Vandermonde 行列式是一類很重要的行列式。后來又經(jīng)過許多大數(shù)學(xué)家的不斷發(fā)展完善，如柯西、詹姆士 例如三階行列式中的項(xiàng) 312312 ??? 排列 (231)有 2 個逆序，即 2 在 1 之前 ， 3 在 1 之前