【正文】 二〇 一 〇 年五 月 八 日 淺析 Vandermonde 行列式的相關(guān)性質(zhì) 及其 應(yīng)用 摘要 ： 在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，行列式 無(wú)疑是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是后續(xù)課程線性方程組、矩陣、向量空間和 線性變換的基礎(chǔ)。 關(guān)鍵字 : 行列 式； Vandermonde 行列式； Vandermonde Vandermonde determinant of the nature and application of relevant Abstract: Within the study of advancedmath,determinant obviously bing important and difficult,was the basic of lated courses including Linear Equations， Vector spaces，Matrix， Linear was a series regulations and skills in calculation of Vandermonde determinant was an important ,this thesis described the related natures and the application of Vandermonde determinant systermatically. Secondly,it illustrated several issues of Vandermonde determinant and how to take use of Vandermonde determinant to calculate the general determinant through some ,this thesis instructed and concluded how to take better use of Vandermonde determinant in scientific study and practice. Key words： Determinant。為了解決這些具體的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)一代代數(shù)學(xué)家的不懈努力，終于由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和分別發(fā)明了行列式。 美國(guó)當(dāng)代數(shù)學(xué)家 Bernard Kolman 對(duì)行列式又做了進(jìn)一步的解析與應(yīng)用 ]2[ 。 定義 1 行列式是由 2n 個(gè)元素 （數(shù)） ij? ( ji, =1,2,…, n )排成 n 行 n 列并寫(xiě)成 (1) 的形式，它表示所有符合以下條件的項(xiàng)的代數(shù)和： ① 每項(xiàng)是 n 個(gè)元素的乘積，這 n 個(gè)元素是從 (1)中每行取一個(gè)元素、每列取一個(gè)元素組成的，可記nnppp aaa ?21 21為 ,式中 nppp , 21 ? 是 1,2,…, n 的一個(gè)排列。 性質(zhì) 2 交換行列式的兩行（列），行列式改變符號(hào)。 性質(zhì) 6 如果一個(gè)行列式中有一行（列）的元素全部是 0，那么這個(gè)行列式等于 0。 性質(zhì) 9 把行列式的某一行 (列 )的元素乘以同一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，行列式不變。根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時(shí)有 nV =)()(. ..)(0)()(. ..)(0. ... ... ... ... ... ..011. ..111211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? =1?)()(. . .)()()(. . .)(. . .. . .. . .. . .. . .1211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? （ 按行列式首項(xiàng)展開(kāi) 得到） ? 2 1 1 1 1( ) ...( ) ( )nna a a a a a?? ? ?2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 ... 1 1...... ... ... ... .........nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ??? (2) 注意到行列式（ 2）是 1n? 階 Vandermonde 行列式 1?nV ，即已 經(jīng)將 nV 用 1?nV 表示出來(lái)。 方法一與方法二的實(shí)質(zhì)與算法是一致的，可以說(shuō)是同一種方法。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系， kx項(xiàng)的系數(shù)為 1212, . . . 1( 1 ) . . . ( x x ) ( 0 , 1 , 2 . . . 1 )nknknkn k p p p i jp p p j i na x x x k n???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?， 其中 12, ... nkp p p ? 是 1， 2… n 中（ nk? ）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列，12, ... nkp p p??表示對(duì)所有（ nk? ）階排列求和。 例 4 計(jì)算準(zhǔn) Vandermonde 行列式 1 2 3 4 5 62 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6[ 4 ] 4 4 4 4 4 41 2 3 4 5 65 5 5 5 5 51 2 3 4 5 66 6 6 6 6 61 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1a a a a a aa a a a a aVa a a a a aa a a a a aa a a a a a? 解 由定理， n =6,k =3,所以 1 2 31 2 3[ 4 ] 16 ()p p p i jp p p jiV a a a a a? ? ?? ? ?? ?= 1 2 3 1 2 4 4 5 6 16( . . . ) ( )ijjia a a a a a a a a a a? ? ?? ? ? ? ??. 一個(gè) Vandermonde行列式為 0 的充分必要條件是 12, , , nx x x 中至少有兩個(gè)相等 . Vandermonde 行列式的偏導(dǎo)數(shù) ]8[ . 定理 12 1( , , , ) ( )n i jj i nF x x x x x? ? ????， 由 Vandermonde 行列式的定義知， 12( , , )nF x x x 是 12, , , nx x x 的 n 元函數(shù) . 例 5 設(shè) 12, , , na a a 是 n 個(gè)兩兩互異的數(shù)，證明對(duì)任意 n 個(gè)數(shù) 12, , , nb b b ，存在唯一的次數(shù)小于 n 的多項(xiàng)式 1()n jii ji ijxaL x b aa? ??? ?? ?， 使得 ()iiLa b? ， 1 in?? . 證 從定義容易看出 ()Lx 的次數(shù)小于 n ，且 ()iiLa b? ， 故只需證明唯一性即可 . 設(shè) 210 1 2 1() nnf x c c x c x c x ??? ? ? ? ?滿足