【正文】 元素112211 ,??nnababab ? 為列元素的 1?n 階 Vandermonde行列式，所以 1?nD = ?nnnn aaa ?21 ????? ?11 )(nij jjii abab . 法三 如 n 階行列式 nD 的第 i 行（列）由兩個(gè)分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含有相同分行（列），且 nD 中含有 n 個(gè)分行（列）組成的Vandermonde 行列式，那么將 nD 的第 i 行（列）乘以（ 1? ）加到（ 1?i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成 Vandermonde 行列式。 Vandermonde 行列式的證法 方法一、 消元法 ]6[ 證：從第 n 行開始，每一行加上前一行的 1a? 倍。 2 預(yù)備知識(shí) 為 了深入 學(xué)習(xí) Vandermonde 行列式的性質(zhì) 及其應(yīng)用，我們有必要回顧一下行列式的相關(guān)知識(shí)。 分類號(hào)： 單位代碼： 106 密 級(jí)： 一般 學(xué) 號(hào)： 1060206024049 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目： 淺析 Vandermonde 行列式的 相關(guān)性質(zhì) 及其應(yīng)用 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 王 昆 指導(dǎo)教師： 張慶祥 職 稱： 教 授 答辯日期： 二〇 一 〇 年五 月 八 日 淺析 Vandermonde 行列式的相關(guān)性質(zhì) 及其 應(yīng)用 摘要 ： 在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，行列式 無(wú)疑是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是后續(xù)課程線性方程組、矩陣、向量空間和 線性變換的基礎(chǔ)。 定義 1 行列式是由 2n 個(gè)元素 （數(shù)） ij? ( ji, =1,2,…, n )排成 n 行 n 列并寫成 (1) 的形式，它表示所有符合以下條件的項(xiàng)的代數(shù)和： ① 每項(xiàng)是 n 個(gè)元素的乘積，這 n 個(gè)元素是從 (1)中每行取一個(gè)元素、每列取一個(gè)元素組成的，可記nnppp aaa ?21 21為 ,式中 nppp , 21 ? 是 1,2,…, n 的一個(gè)排列。根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時(shí)有 nV =)()(. ..)(0)()(. ..)(0. ... ... ... ... ... ..011. ..111211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? =1?)()(. . .)()()(. . .)(. . .. . .. . .. . .. . .1211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? （ 按行列式首項(xiàng)展開 得到） ? 2 1 1 1 1( ) ...( ) ( )nna a a a a a?? ? ?2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 ... 1 1...... ... ... ... .........nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ??? (2) 注意到行列式（ 2）是 1n? 階 Vandermonde 行列式 1?nV ，即已 經(jīng)將 nV 用 1?nV 表示出來(lái)。 例 10 計(jì)算行列式 △ 4=434233322322213124243232221214321s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n1s i n1s i n1s i n11111???????????????????????????????? . 解：在 △ 4的第 2 行中去掉與第一行成比例的分行，得到 △ 4=434233322322213124243232221214321s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n1111???????????????????????????? 在上面行列式的第 3 行中去掉與第 2 行成比例的分行，得到一個(gè)新的行列式，在此新行列式的 第 4 行 中去掉與第 3 行成比例的分行，得到 △ 4=433323213423222124321s i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i ns i n1111???????????? =???? ?41 )sin(s inij ji ?? . 法四 各行（列）元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪的行列式，可用各種方法化成 Vandermonde 行列式。 (全文共 10331 字 ) . 。 例 11 （缺行 Vandermonde 行列式 ]1[ ） nnnniniiiniininxxxxxxxxxxxxD???????????21112111121121,111???????. 解：注意此 行列式與 Vandermonde 行列式的區(qū)別在于 jx 的冪跳過 ijx ，我們自然會(huì)想到把缺了的冪補(bǔ)起來(lái)，再利用 Vandermonde 行列式，故令 nnnnniiniinnnzxxxzxxxzxxxzxxxV???