數(shù)學-淺析vandermonde行列式的相關性質及其應用-文庫吧
2025-04-17 01:44 本頁面
【正文】 對角線上所有元素的乘積。 例 1 計算 n 級行列式 ............ . .. . .. . .. . .. ....nx a a aa x a aD a a x aa a a x?. 分析 該行列式具有各行（列）元素之和相等的特點 .可將第 n,3,2 ? 列（行）都加到第一列（行）（或第 121 ?n，， ? 列（行）加到第 n 列 (行 )），則第 1（或 n ）列（行）的元素相等，再 進一步化簡即可化為三角 形行列式 或次三角行列式 . 解 1( 1 ) ... ( 1 ) ...( 1 ) ... [ ( 1 ) ] ( )... ... ... ... ...( 1 ) ...nnx n a a a x n a a ax n a x a x aD x n a x ax n a a x x a?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 加邊法或升級 法 例 2 計算 n 級行列式 123........... . .. . .. . .. . .. ....nna b b bb a b bD b b a bb b b a? ( , 1, 2, ..., )ib a i n?? 分析 該行列式的各行（列）含有共同的元素 bbb , ? 可在保持原行列式值不變的情況 下，增加一行一列（稱為升級發(fā)或加邊法），適當選擇所增加行（或列）的元素，使得下一步化簡后出現(xiàn)大量的零元素 . 解 121 ...000nnb b ba b bD b a bb b a升 級?1211 0 01 0 01 0 0 nb b bababab???? ?1121nnbbb b ba b a bababab? ? ????121 1[ 1 ] ( ) ( ) ( )nni ib a b a b a bab?? ? ? ? ??? 遞推法或數(shù)學歸納法 例 3 計算 n 級行列式 2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0.0 0 0 2 10 0 0 1 2nD??????? 分析 對于三對角或次三對角行列式，按其第 1 行（列）或第 n 行（列） 展開得到兩項的遞推關系，再利用變形遞推的技巧求解 . 解 121 1 21 1 0 0 00 2 1 0 00 1 2 0 01 2 ( 1 ) ( 1 ) 20 0 0 2 10 0 0 1 2n n n nD D D D?? ? ?????? ? ? ? ? ???按 第 行 展 開 直接遞推不易得到結果（按低級是可以 的 ），變形得 1 2 11 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) n nD D D D n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 行列式的一種特殊類型 —— Vandermonde 行列式 定 義 2 我們把型如 nV?121 1 1121 1 .. . 1..... . .. . .. . .. ....nn n nna a aa a a? ? ?=1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 的 行列式叫做 Vandermonde 行列式 ，其中1 ()ijj i n aa? ? ? ??表示 12, ,...i i ina a a 這 n 個數(shù)碼的所有可能（ijaa?， ji? ）因子共 2nc 項的乘積（ 2n? ）。 Vandermonde 行列式的證法 方法一、 消元法 ]6[ 證：從第 n 行開始，每一行加上前一行的 1a? 倍。根據(jù)行列式的性質可知行列式的值不變，此時有 nV =)()(. ..)(0)()(. ..)(0. ... ... ... ... ... ..011. ..111211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? =1?)()(. . .)()()(. . .)(. . .. . .. . .. . .. . .1211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? （ 按行列式首項展開 得到） ? 2 1 1 1 1( ) ...( ) ( )nna a a a a a?? ? ?2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 ... 1 1...... ... ... ... .........nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ??? (2) 注意到行列式（ 2）是 1n? 階 Vandermonde 行列式 1?nV ，即已 經(jīng)將 nV 用 1?nV 表示出來。重復用上述方法對 1?nV 進行求解，經(jīng)過有限步可以得到： 1nV? =（ ( 21aa? ) … 1 1 1( )( )nna a a a? ??） ? ( ? ?3 2 1 2 2( ) .. .( )nna a a a a a?? ? ?)…( 1nnaa?? ) =1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 即證。 方法二：數(shù)學歸納法 證： 當 2n? 時 , 2 2 1V a a??成立。假設 對于 1n? 階成立，對于 n 階有：首先要把 nV 降階，從第 n 行起后一行減去前一行的 1a? 倍，然后按第一行進行展開，就有 2 1 3 1 1 1( ) ( ) ...( )n n nV a a a a a a V?? ? ? ?，于是就有 nV = ()ijaa??，其中 ? 表示連乘， ,ij的取值為 2 j i n? ? ? ，原命題得證。 方法一與方法二的實質與算法是一致的，可以說是同一種方法。 Vandermonde 行列式的性質 推 廣的性質定理 ]7[ ：行列式 [ 1]kV? = 122 2 2121 1 1121 1 112121 1 ... 1......... ... ... ............ ... ... ......nnk k knk k knn n nnx x xx x xx x xx x xx x x? ? ?? ? ?=1212 ... ... nknk p p pp p p x x x V?? ?? (k=0,1,2…n 1), 其中 12, ... nkp p p ? 是 1,2,...n 中（ nk? ）個數(shù)的一個正序排列。
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