【正文】 an3 = a0xn1 + a1xn2 + … + an2x + an1 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 40 Example 15 設(shè) 11 1111 1 11 1110000mm m mmnn nm n nnaaaaDc c b bc c b b?11 111mm m maaDaa?1 1 121nn n nbbDbb?證明： D = D1D2 . 對(duì) m 用數(shù)學(xué)歸納法即可證明（ （ B） 1(2)。2） 1 1 111 1 1 1 1 1110000mm m mnmn n n n n maaaaDb b c cb b c c?= ？ 三 、行列式的性質(zhì) 后 m列換到前面；注 2022/6/4 41 Example 16 證明 范德蒙德（ Vandermonde）行列式 122 2 2121 1 1121 1 1nnnn n nnx x xD x x xx x x? ? ??1()ijj i nxx? ? ????3 3 2 3 1 2 1( ) ( ) ( )D x x x x x x? ? ? ?Proof : 用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng) n = 2 2 2 11211D x xxx? ? ?結(jié)論成立； 假設(shè)對(duì)于 n1 階 V 行列式，結(jié)論成立； 對(duì)于 n 階 V行列式，從第 n 行開(kāi)始，后行減去前 行的 x1倍 . 三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 42 Dn 2 1 3 1 12 2 1 3 3 1 12 2 22 2 1 3 3 1 11 1 1 100 ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) ( )nnnn n nnnx x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x x? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?11iir x r??, 1, ..., 3, 2i n n??232 1 3 1 12 2 2231 1 1( ) ( ) ( )nnn n nnx x xx x x x x xx x x? ? ?? ? ? ?上式右端行列式是 n1 階 V 行列式，由歸納假設(shè)，得 2 1 3 1 12( ) ( ) ( ) ( )n n i jj i nD x x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ??1()ijj i nxx? ? ????三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 43 Example 17 計(jì)算 41 1 1 12 3 1 44 9 1 1 68 2 7 1 6 4D???Solution: D4 為 4 階 V 行列式 4 2 2 2 23 3 3 31 1 1 12 3 1 ( 4 )2 3 1 ( 4 )2 3 1 ( 4 )D????其中 1 2 3 42 , 3 , 1 , 4x x x x? ? ? ? ?故 4 4 3 4 2 4 1 3 2 3 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 0D x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?三 、行列式的性質(zhì) 2022/6/4 44 第三節(jié) 克萊姆（ Cramer）法則 2022/6/4 45 首次討論線性方程組的求解問(wèn)題，利用行列式得出 一類特殊方程的求解公式 . 克萊姆法則： 如果線性方程組 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ??(1) 其系數(shù)行列式 11 12 121 22 2120nnn n nna a aa a aDa a a??則方程組 (1)有唯一解 1 2 ( 2)jj Dxj D?? ， ， ,n 其中 Dj 是用常數(shù)項(xiàng) (自由項(xiàng) ) b1， b2， … ， bn 替 換 D 中第 j 列所成的行列式 . 11 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) 121 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 21 ( 1 ) ( 1 )j j nj j njn n j n n j nna a b a aa a b a aDa a b a a???????一 、克萊姆法則 簡(jiǎn)記為 11ni j j ija x b i n????2022/6/4 47 Example 18 解方程組 1 2 3 41 3 41 2 31 2 3 4222 4 43 2 12 2 4x x x xx x xx x xx x x x? ? ? ???? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??Solution: 1 1 1 22 0 1 43 2 1 01 2 1 2D??????0 1 0 04 4 1 03 2 1 01 2 1 2????0 1 02 4 4 13 2 1?? 412 31?? 20? ? ?該位置展開(kāi)一定帶正號(hào) D1 = 2 ， D2 = 4 ， D3 = 0 ， D4 = 1 所以， x1 = 1， x2 = 2， x3 = 0， x4 = 1/2 . 二 、克萊姆法則應(yīng)用實(shí)例 2022/6/4 48 克萊姆法則的意義在于它給出了解與系數(shù)的關(guān)系 , 在方程理論上很有價(jià)值 . 但用它來(lái)求解是很不方便的 . 因?yàn)?，它求解一個(gè) n 個(gè)未知量、 n 個(gè)方程的線性方程 組，需計(jì)算 n+1 個(gè) n 階行列式，計(jì)算量很大 . Definition 在方程組（ 1）中，如果自由項(xiàng) b1， b2， … ， bn 不全為零，則稱（ 1）為 非齊次 線性方程組 。 否則，稱為 齊次線性方程組 . Corollary 1 零一定是它的解， 更關(guān)心的是非零解 如果齊次線性方程組 10 1 ~ni j jja x i n????的系數(shù)行列式 , 0D ? 則方程組只有零解 . Corollary 2 如果齊次線性方程組 10 1 ~ni j jja x i n????有非零解的必要條件是 D = 0 . 第三章將證明 這也是充分的 三 、克萊姆法則應(yīng)用 2022/6/4 49 Example 19 設(shè)方程組 1 2 31 2 31 2 3000x x xa x b x c xb c x c a x a b x? ? ???? ? ??? ? ? ??問(wèn) a、 b、 c 滿足什么條件，方程組有非零解 . Solution: 1 1 1D a b cb c c a a b?1 0 0a b a c abc c a bc ab bc? ? ???( ) ( ) ( )a b b c c a? ? ? ?由 D = 0 ?a、 b、 c 至少有兩個(gè)相等 . 不難驗(yàn)證，當(dāng) a、 b、 c 中至少有兩個(gè)相等，方程 組有非零解 . 2022/6/4 50 小 結(jié) 行列式計(jì)算、證明的常用方法 定義 性質(zhì) 降（升）階 遞推 V 行列式 數(shù)學(xué)歸納法 2022/6/4 51 第 二 章 行列式 完 2022/6/4 52 第二章練習(xí) ? P36， 習(xí)題 2(A)第 7, 5， 3（ 5） 。(B) 2022/6/4 53 習(xí)題 2作業(yè) ? P36， 習(xí)題 2(A)第 2(1,2)。 3(3, 5)。 4(3,4)。 6 ， 8(1)。 9。 10