【正文】 ............................. 12 HESSENBERG 型行列式的計(jì)算 ............................. 13 ............................................. 14 （升階法） ................................... 15 計(jì)算行（列）和相等的行列式 ......................... 16 相鄰行（列）元素差 1 的行列式計(jì)算 ................... 17 線性因子法 ........................................ 17 輔助行列式法 ...................................... 19 n 階循環(huán)行列式算法 ................................. 19 有關(guān)矩陣的行列式計(jì)算 ............................... 21 用構(gòu)造法解行列式 ................................... 22 利用拉普拉斯展開 ................................... 23 3 用多種方法解題 ........................................ 23 參考文獻(xiàn)： .............................................. 27 II 3 【內(nèi)容 摘要 】 行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的 應(yīng)用，懂得如何計(jì)算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的基本理論 ，然后介紹各種具體的方法，最后由行列式與其它知識(shí)的聯(lián)系介紹其它幾種方法。 【 關(guān)鍵 詞 】 行列式 ； 矩陣 ； 范德蒙行列式 ； 遞推法 Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinant,on our learning will bring very useful help. Keywords: Determinant； matrix； Vandermonde Determinant； recurrence method 4 引 言 行列式在高等代數(shù)課程中的重要性以及在考研中的重要地位使我們有必要對(duì)行列式進(jìn)行較深入的認(rèn)識(shí)，本文對(duì)行列式的解題 技巧 進(jìn)行總結(jié)歸納。 1 行列式的 基本理論 行 列式定義 定義 行列式與矩陣不同，行列式是一個(gè)值，它是所有不同行不同列的數(shù)的積的和，那些數(shù)的乘積符號(hào)由他們的逆序數(shù)之和有關(guān)，逆序數(shù) 之和為偶數(shù)符號(hào)為正，逆序數(shù)之和為奇數(shù) 符號(hào)為負(fù)。 6 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa???????????????????????????212111211212111221221111211????? 把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。 基本理論 1．??? ?????? ji jiDAaAaAa jninjiji ,0 ,2211 ?其中 ijA 為元素 ija 代數(shù)余 子 式。 幾種特殊行列式的結(jié)果 1． 三角行列式 nnnnnnaaaaaaaaa???????221122211211000 ?(上 三角行列式 ) nnnnnnaaaaaaaaa???????221121222111000?(下三角行列式 ) 2． 對(duì)角行列式 7 nnnnaaaaaa???????22112211000000? 3．對(duì)稱與反對(duì)稱行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211? 滿足 )2,1,2,1( njniaajiij ?? ??? ， D 稱為對(duì)稱行列式 0000321332312232111312????????nnnnnnaaaaaaaaaaaaD ? 滿足)2,1,( njiaa jiij ???? ， D 稱為反對(duì)稱行列式。 化成三角形行列式法 將行列式化為上三角形行列式計(jì)算步驟，如果第一行第一個(gè)元素為零，首先將第一行 (或第一列 )與其它任一行 (或列 )交換，使第一行第一個(gè)元素不為零，然后把第一行分別乘以適當(dāng)數(shù)加到其它各行，使第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為零，再用同樣的 方法處理除去第一行加第一列余下的低階行列式依次做下去，直至是它成 為上三角形行列式，這時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是行列式的值。 10 例 4 nnnnabbaabaDn00000000011211???????????階行列式　計(jì)算 . 解： 按第 1 列展開得 13322111132210000000000)1(0000000000???????nnnnnnbbababbabaabaaD????????????????　 ? ? nnn bbbaaa ?? 21121 1 ???? 　　 . 箭型行列式的計(jì)算 對(duì)于形如????????????????????????????????????????的所謂箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性質(zhì)化為三角或次三角形行列式來計(jì)算，即利用對(duì)角元素或次對(duì)角元素將一條邊消為零。 方法 1 如果 n 比較小，則直接遞推計(jì)算 方法 2 用第二數(shù)學(xué)歸納法證明：即驗(yàn)證 n=1 時(shí)結(jié)論成立，設(shè) kn? 時(shí)結(jié)論也成立，若證明 n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，則對(duì)任意自然數(shù)相應(yīng)的結(jié)論成立 方法 3 將 21 ?? ?? nnn DDD ?? 變形為 )( 211 ??? ??? nnnn pDDqpDD ，其中 ???qp , ???pq 由韋達(dá)定理知 p 和 q 是一元二次方程02 ??? ??xx 的兩個(gè)根。 方法 4 設(shè) nn xD? ，代入 021 ??? ?? nnn DDD ?? 得 0??? ??xxn （稱之為特征方程），求出其根 1x 和 2x （假設(shè) 21 xx? ），則 nnn xkxkD 2211 ?? ，這里 1k ， 2k 可通過 n=1和 n=2 來確定。,)1(11???? ?????nnnnnD 利用范德蒙行列式 范德蒙行列式具有逐行元素遞增的特點(diǎn)。 例 8 計(jì)算行列式 )1(1)2(222111321??????????nnnnnnD n??? 解： 將第 1， 2 n1 列加到第 n 列，得 01)2(222112)1(1321?????????nnnnnnD n??? 1)2(211)1(2 )1( 1???????? ?nnnn n??2 )!1()1( 1