行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-04 17:08本頁(yè)面
【正文】 列式的過程中，它自身的特點(diǎn)和性質(zhì)是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，決定著其它有關(guān)內(nèi)容的掌握程度。由于行列式的計(jì)算方法多樣，應(yīng)用靈活，我們要根據(jù)題目的具體要求選擇簡(jiǎn)便的方法，使問題解決簡(jiǎn)單化。通過對(duì)行列式乘法規(guī)則的掌握，也有利于我們進(jìn)一步的理解和應(yīng)用行列式去探討其它一些重要問題。命題1（ 行列式的乘法規(guī)則）若兩個(gè)階行列式 ，則與的乘積是一個(gè)行列式其中 要證明行列式的乘法規(guī)則，需先證明以下兩個(gè)引理： 引理1 證明: .證明 首先我們對(duì)的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。假設(shè)當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論成立,即 現(xiàn)在我們來看當(dāng)時(shí)，引理結(jié)論是否成立。因此，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，引理1得證。 首先需證明以下引理：引理3 行列式的任一子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項(xiàng)都是行列式的展開式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致。令展開后的一般項(xiàng)為（1）其中為從小到大的行排列，為次序不定的列排列。又與都為的一個(gè)排列。 再者 （3）我們注意到，因?yàn)橹械娜我忭?xiàng)也會(huì)與中的任意項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。所以有（3）式成立。比項(xiàng)大的有項(xiàng)，而中有項(xiàng)，所以能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，同理在中能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)，依此類推，能與構(gòu)成逆序的有項(xiàng)。因此，我們有從而，有即的一般項(xiàng)為.又為的代數(shù)余子式。定理1 若為階行列式，為的取定行后得到的子式，分別為的代數(shù)余子式。又與無公共項(xiàng)，所以只需證明兩邊項(xiàng)數(shù)相同便可得到上式。 其實(shí)，定理1就是拉普拉斯定理的簡(jiǎn)單敘述，以上也給出了一般的證明方法。 現(xiàn)在來給出行列式乘法規(guī)則的第二種證明方法。其實(shí)這不是偶然，引理1中的行列式是的特例，是得一般形式。 再根據(jù)引理2即可得到行列式的乘法規(guī)則。 證明 首先作一個(gè)階的行列式.令 .所以.根據(jù)分塊矩陣乘法和拉普拉斯定理，得.由此可見利用分塊矩陣和拉普拉斯定理組合也可以得到和引理1一樣的結(jié)果。以上我們采用了三種方法證明了行列式的的乘法規(guī)則，分別是數(shù)學(xué)歸納法，利用拉普拉斯定理證明以及利用矩陣分塊證明，下面我們給出其的幾個(gè)常見應(yīng)用。例1 計(jì)算以下行列式.解 由行列式的性質(zhì)，有
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