行列式乘法規(guī)則的證明方法及其應(yīng)用_畢業(yè)論文(參考版)
2024-08-31 21:46本頁面
【正文】 再此，我表示對他們最誠摯的感謝和敬意！ 。這對我今后的學(xué)習(xí)和工作都是筆寶貴的財(cái)富。在這學(xué)習(xí)的氛圍中，我感受到了 *老師嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度和學(xué)術(shù)科研的精神。當(dāng)然關(guān)于行列式乘法規(guī)則的證明以及應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，由于本人知識有限，在這里不能一一說明，其它的應(yīng)用還有望我們大家共同去研究、去探討。為了讓讀者能夠順利的理解和領(lǐng)會(huì)乘法規(guī)則，還給出了一些典型例題。但是我們在做行列式相關(guān)問題時(shí)，行列式乘法規(guī)則是最基礎(chǔ)也是最常用的理論之一，所以我們應(yīng)該自己組織時(shí)間進(jìn)行具體學(xué)習(xí)。即 2 2 2 2 2( ) .D a b c d? ? ? ? 關(guān)于行列式乘法規(guī)則的詳細(xì)證明在《高等數(shù)學(xué)》等教材中所占的篇幅都比較少，甚至都不給予單獨(dú)說明。 行列式的應(yīng)用非常廣泛，以下就行列式乘法規(guī)則的應(yīng)用給出幾個(gè)典型例題，供大家參考。 再由引理 2 即可得到行列式的乘法規(guī)則。 下面我們將采用矩陣分塊的思想來證明行列式的乘法規(guī)則。學(xué)過拉普拉斯定理后，類似的行列式都容易計(jì)算多了。 證明 首先我們 作一個(gè) 2r 階的行列式 11 12 121 22 212111 12 1 11 12 121 22 2 21 22 21 2 1 20 0 00 0 00 0 0rrr r rrkrk k k k r r rrn n nn n nn n nDp p p m m mp p p m m mp p p m m m?， 利用拉普拉斯定理，將 1D 按前 r 行展開，可見只有左上角的那個(gè) r 階子式不為零，則 1 1 1 2 1 1 1 1 2 12 1 2 2 2 2 1 2 2 211 2 1 2.rrr r rr r r rrn n n m m mn n n m m mDn n n m m m? ， 這與引理 1 所得的結(jié)果相同。拉普拉斯 (Laplace)定理是行列式計(jì)算中的一個(gè)重要定理，是行列式展開的理論依據(jù)，有很多教材都給出了詳細(xì)證明，詳見文獻(xiàn) [1,2]. 在文獻(xiàn) [5]中，殷紅彩又給出了拉普拉斯定理新的證明方法。 由于 D 的項(xiàng)數(shù)是 !n ， 而 iM 的項(xiàng)數(shù)是 !r ， iA 的項(xiàng)數(shù)式 ( )!nr? ， 又 8 ! ,!( )!rn ntC r n r?? ? 所以被證等式右邊的項(xiàng)數(shù)是 ! ( )! !t r n r n? ? ? ? ， 故定理 1得證。則有 1 1 2 2 .ttD M A M A M A? ? ? ? 證明 我們知道 iiMA 的每一項(xiàng)就是 D 中的一項(xiàng)且有相同的符號。所以 MA 的一般項(xiàng)為 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1( ) + ( )( 1 ) r r r n r r n r r r r n np p p p p p q q q q q p q p q p q p q p qa a a a a?? ? ? ? ??? . 這剛好是行列式 D 的一般項(xiàng)，所以引理 3 得證。所以有（ 4）成立。 又由于 1 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ( ) ] ,r r r n r r n r r nq q q q q q q q q q q r q r q n q? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 4） 我們注意到 1 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )r r r n r r nq q q q q q q q q q q? ? ?? ? ??? ， 因?yàn)?12, , , rq q q 中的任意項(xiàng)也與 12, , ,r r nq q q?? 中的項(xiàng)構(gòu)成逆序，產(chǎn)生逆序數(shù)。在 12, , ,r r np p p?? 中能與 1p 構(gòu)成逆序的有 1 1p ? 項(xiàng)，能與 2p 構(gòu)成逆序的有 2 2p ? 項(xiàng)，依此類推，能與 rp 構(gòu)成逆序的有 rpr? 項(xiàng)。 從而將式（ 1）（ 2） 相乘，得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) r r r r n r r n r r r r n np p p q q q p p p q q q p q p q p q p q p qa a a a a? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? . 顯然1 1 2 2 1 1r r r r n np q p q p q p q p qa a a a a??為 D 展開后的任意項(xiàng)。 6 再令 M? 展開后的一般項(xiàng)為 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1 ) ,r r n r r n r r r r n np p p q q q p q p q p qa a a??? ? ? ? ? ? ? ??? （ 2） 其中 12, , ,r r nq q q?? 為從小到大的列排列，12, , ,r r np p p??為次序不定的行排列 。 證明 令 M 為行列式 D 的任一 r 階子式 ,M? 為 M 對應(yīng)的余子式。 引理 2 證明 : 1 1 1 2 12 1 2 2 21 1 1 2 11 2 2 1 2 2 21 1 1 2 12 1 2 2 2 1 2120 0 00 0 00 0 0=,1 0 00 1 00 0 1rrrr r r r rrr r r r rr r r rn n nn n nc c cn n n c c cDm m mm m m c c cm m m???? 其中 1, , 1 , 2 , , .rik ij jkjc n m i k r???? 證明 首先對 D 作以下變換 : 第一列乘以 11m ，第二列乘以 21m ，依此類推，第 r 列乘以 1rm ，之和 加到第1r? 列；第一列乘以 12m ，第二列乘以 22m ，依此類推，第 r 列乘以 2rm ，之和加到第 2r? 列；如此下去，第一列乘以 1, 1rm? ，第二列乘以 2, 1rm? ，依此類推，第 r 列乘以 ,1rrm? ，之和加到第 21r? 列；第一列乘以 1rm ，第二列乘以 2rm ，依此類推，第 r 列乘以 rrm ，之和加到第 2r 列，則有 5 11 12 1 1 1 1 2 11 1 121 22 2 2 1
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