【正文】 屬 系 數(shù)學系 專業(yè)年級 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 2020 級數(shù)學 1班 指導(dǎo)教師 2020 年 5 月 行列式的計算方法研究 摘要 在線性代數(shù)中，行列式是個函數(shù)。在本質(zhì)上，行列式描述的是在 n 維空間中一個線性變換所形成的“平行多面體”的“體積”。本論文首先，對行列式的計算方法進行總結(jié)，并對計算方法進行舉例。最后，值得注意的是，在同一個行列式有時會有不同的求解方法，這就要根據(jù)行列式的特點選擇適當?shù)姆椒?。在本質(zhì)上，行列式描述的是在 n 維空間中，一個線性變換所形成的“平行多面體”的“體積”。當線性方程組的方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等時，方程組不一定總是有唯一解。這個線性方程組有唯一解當且僅當它對應(yīng)的行列式不為零。 當線性方程組對應(yīng)的行列 式不為零時，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。行列式概念的最初引進是在解線性方程組的過程中行列式被用來確定線性方程組解的個數(shù)，以及形式。于是有了線性自同態(tài)和向量組的行列式的定義。 若干數(shù)字組成的一個類似于矩陣的方陣，與矩陣不同的是，矩陣的表示是用中括號，而行列式則用線 段。 行列式的計算方法研究 2 第一章 普通法求行列式 利用行列式定義直接計算 例 1 計算行列式 nnD n000000100200100??????????? 解 nD 中不為零的項用一般形式表示為 nnnnn aaaa 112211 ??? ? 該項列標排列的逆序數(shù) )121( nnnt ??? 等于 2 )2)(1( ?? nn ， 故!)1( 2 )2)(1( nnnn ????. 總結(jié) ：對上面的例題，可以看出，行列式中 0 元素比較多的，那么用定義法計算比較簡略。 利用行列式的性質(zhì)計算 例 1： 39。 證明：奇數(shù)階反對稱行列式為零 . 證明：由 jiij aa ?? 知 iiii aa ?? ，即 niaii ,2,1,0 ??? 故行列式 nD 可表示為0000321323132231211312?????????nnnnnnnaaaaaaaaaaaaD???????，由行列式的性質(zhì)39。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。 原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。 先簡再展 例 1:計算 20階行列式 201 2 3 18 19 202 1 2 17 18 193 2 1 16 17 1820 19 18 3 2 1D ? [分析 ]這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個 2階行列式計算，需進行 20！ *20－ 1次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是 n階。 注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差 1，因此，可按下述方法計算：112020 1 18( 1 ,( 2 , , 20 )19 )1 1 1 1 1 11 2 3 18 19 202 1 1 1 1 12 1 2 17 18 193 1 1 1 1 13 2 1 16 17 1819 1 1 1 1 120 19 18 3 2 120 1 1 1 1 11 1 1 1 1 13 0 2 2 2 24 0 0 2 2 221 ( 1 ) 2 2120 0 0 0 0 221 0 0 0 0 0iiiiiccrrD??????????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?182 行列式的計算方法研究 6 按第一行（列）展開 例 2 ： 計算 n階行列式0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 01 0 0 0naaaDaa? 解 將 nD 按第 1行展開10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0( 1 )0 0 00 0 00 0 0 1 0 0 0nnaaaaDa aaa?? ? ? 12( 1) ( 1)n n n naa??? ? ? ? 2nnaa??? . 例 3：計算 n（ n≥ 2）階行列式 0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0aaD aa? ． 解 按第 一行展開，得 ? ?10000 0 00 0 00 0 0 10000 0 01 0 0 0naaaaDaaa?? ? ?． 再將上式等號右邊的第二個行列式按第一列展開，則可得到 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 2 21 1 1nnn n n n nD a a a a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． 行列式的計算方法研究 7 遞（逆）推公式法 遞推法是根據(jù)行列式的構(gòu)造特點，建立起 nD 與 1?nD 的遞推關(guān)系式，逐步推下去，從而求出 nD 的值。 注意 :用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。 同理得 nnn DD ?? ?? ?1 , ??????????? ?? .,。從行列式的左上方往右下方看，即知 Dn1與 Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。 行列式的計算方法研究 11 利用范德蒙行列式 根據(jù)行列式的特點，適當變形（利用行列式的性質(zhì) —— 如：提取公因式；互換兩行（列）；一行乘以適當?shù)臄?shù)加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或簡單的形式。這種變形法是計算行列式最常用的方法。 先將的第 n行依次與第 n1行， n2行，? ,2 行， 1行對換，再將得到到的新的行列式的第 n 行與第 n1行， n2 行，? ,2 行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第 n行與第 n1行對換，這樣，共經(jīng)過（ n1） +（ n2） +? +2+1=n（ n1） /2次行對換后，得到 ( 1 )22 2 2 21 1 1 11 1 1 11 2 1( 1 )( 1 ) ( 2) ( 1 )( 1 ) ( 2) ( 1 )nnnn n n nn n n na n a n a aDa n a n a aa n a n a a?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? 上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： ( 1 ) ( 1 )2211( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( 1 ) ( )n n n nn j i n j i nD a n i a n j i j??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 行列式的計算方法研究 14 第三章 其他方法求行列式 加邊法（升階法） 加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。根據(jù)需要和原行列式的特點選取所加的行和列。 “ 0”“字 母”加邊 例 1： 計算 n 階行列式 12121212nnnnnx a a aa x a aD a a aa a x a???? 解：1100nnnaaD D?1211 0 02 , , 1 1 0 01 0 0nia a axin xx??? ??第 行