行列式的計(jì)算技巧總結(jié)-在線瀏覽
2025-08-03 18:05本頁(yè)面
【正文】 概念及計(jì)算方法設(shè)是級(jí)矩陣的全部特征值，則有公式.故只要能求出矩陣的全部特征值，那么就可以計(jì)算出的行列式． 例題解析例13 若是級(jí)矩陣的全部特征值，證明：可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零．證明：因?yàn)?，則可逆.即可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為零．幾類特殊的行列式的巧妙計(jì)算技巧和方法 三角形行列式 概念形如，這樣的行列式，形狀像個(gè)三角形，故稱為“三角形”行列式． 計(jì)算方法由行列式的定義可知，,. “爪”字型行列式 概念 形如，這樣的行列式，形狀像個(gè)“爪”字，故稱它們?yōu)椤白Α弊中托辛惺剑?計(jì)算方法利用對(duì)角線消去行列式中的“橫線”或“豎線”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可歸納為：“爪”字對(duì)角消豎橫． 例題解析例14 計(jì)算行列式，其中分析：這是一個(gè)典型的“爪”字型行列式，計(jì)算時(shí)可將行列式的第列元素乘以后都加到第一列上，原行列式可化為三角形行列式．解: . “么”字型行列式 概念形如，這樣的行列式，形狀像個(gè)“么”字，因此常稱它們?yōu)椤懊础弊中托辛惺剑?計(jì)算方法利用“么”字的一個(gè)撇消去另一個(gè)撇，就可以把行列式化為三角形行列式．此方法可以歸納為：“么”字兩撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿著“么”的方向，從后向前，利用消去，然后再用消去，依次類推． 例題解析例15 計(jì)算階行列式.解：從最后一行開(kāi)始后一行加到前一行（即消去第一撇），得 . “兩線”型行列式 概念形如這樣的行列式叫做“兩線型”行列式． 計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可通過(guò)直接展開(kāi)法求解． 例題解析例16 求行列式.解：按第一列展開(kāi)，得 . “三對(duì)角”型行列式 概念形如 這樣的行列式，叫做“三對(duì)角型”行列式． 計(jì)算方法對(duì)于這樣的行列式，可直接展開(kāi)得到兩項(xiàng)遞推關(guān)系式，然后變形進(jìn)行兩次遞推或利用數(shù)學(xué)歸納法證明． 例題解析例17 求行列式.解：按第一列展開(kāi)，得 .變形，得.由于，從而利用上述遞推公式得.故. Vandermonde行列式 概念形如這樣的行列式，成為級(jí)的范德蒙德行列式． 計(jì)算方法通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法證明，可得. 例題解析例18 求行列式.解：雖然不是范德蒙德行列式，但可以考慮構(gòu)造階的范德蒙德行列式來(lái)間接求出的值．構(gòu)造階的范德蒙德行列式，得.將按第列展開(kāi)，得，其中，的系數(shù)為.又根據(jù)范
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