有關(guān)對(duì)角矩陣的證明與應(yīng)用畢業(yè)論文設(shè)計(jì)-wenkub.com
2025-01-09 05:11 本頁面
【正文】 于是 nA = P 1200 n? ???????1P? ，又 1P? =1/5 1114???????，故nA = 4111???????100 (1/ 2)n??????1/5 1114???????=1/5 11224 ( ) 4 4 ( )1 ( ) 2 3( )nn??????????因此11nnxy????????= nA 1212??????= 12110 128 3( )2 3( )nn????????。 1ny? =3/5(1/6nx + ny )化簡得11nnxy????????= 9 210 53110 5??????nnxy??????，于是 A= 9 210 53110 5??????。新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有 2/5成為熟練工。 例 A= 4 1 0 0 00 4 1 0 00 0 4 0 00 0 0 4 00 0 0 0 4???????????，試求 exp（ At）。 例 10：試求 39。令 x=Py，其中 y=? ?1 2 3 Ty y y ，則易驗(yàn)證 dxdt =pdydt 。則所求正交矩陣 P 為 P= ? ?1 2 3? ? ? = 1 1 12 3 612361 1 12 3 60??????????。1 (1,0, 1)a ??，當(dāng) ? =1時(shí)，得特征向量 39。 例 8：已知二次曲面 2 2 2 2 2 2 4x ay z bx y x z y z? ? ? ? ? ?，可已經(jīng)正交變換xypz???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?化為橢圓柱方程 2? +4 2? = a， b的值和正交矩陣 P。 解：二次型的矩陣為 A= 1 2 22 2 42 4 2??????????。由 39。當(dāng) ? =1時(shí)，得特征向量為39。故kA =Q15( 5)kkk???????1Q? =1 2 10 1 20 2 1???????15( 5)kkk???????11 2 10 1 20 2 1????????=1 2 10 1 20 2 1???????15( 5)kkk???????. 15? 5 0 50 1 20 2 1????????經(jīng)計(jì)算得當(dāng) k為偶數(shù)時(shí)，kA =1 0 5 10 5 00 0 5kkk???????；當(dāng) k為奇數(shù)時(shí)， kA =11111 4 5 3 5 10 ( 3 ) 5 4 50 4 5 3 5kkkk??????? ? ?????????。 例 5：設(shè) A= 1 4 20 3 4043???????，求 kA 。P , B= 1rC? + P0000ra??????????39。P ， ? , 1rC? 2rC? =P10000ra ???????????39。由 r(BA)=r，故存在正交陣 P使39。B =B. 39。證明一些矩陣的秩相等的問題。M = 1nd c sd c s??????????。()A cE dE B? ? ?= A cE dE B? ? ? 故 A cE dE B? ? ? 為正定矩陣。由此對(duì)于任意的 X≠ 0有39。39。()dE B? = dE B? 。令 A的特征值為 1,..., naa，只需實(shí)數(shù) a使 amax{ 1,..., naa},即有 aEA的特征值為 1,..., na a a a??。 例 3： 設(shè) A為 n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在實(shí)數(shù) a，使得 aEA為正定矩陣，這里 E為單位矩陣。P ，所以1B? 1A? =P11121111nbbb????????????39。由1A? = 39。P BP=12nbbb????????.由 B正定T可逆知 39。令 P=TQ，則 39。T BT 為對(duì)稱陣，則存在正交陣 Q 使1239。由于 A,B 正定，所以 ia 0, ib 0(i=1,2,? ,n)進(jìn)而 1T ABT? =（ 1T? AT）（ 1T? BT） = 11nnabab??????∵ ia ib 0(i=1,2,? ,n),∴ AB是正定陣。1139。B =B，可得 39。39?？梢宰C明：存在同一個(gè)實(shí)可逆陣，使 1T? AT= 1 00 naa??????， 1T? BT= 1 00 nbb??????①。 證： AB∈ nnR? ， 39。 用矩陣對(duì)角化的方法證明高代里的一些問題 第一種情況：利用對(duì)于任意一個(gè) n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣 A，都存在一個(gè) n級(jí)正交矩陣 T，使 39。由于秩（ ia EA） =nir （ i=1,2， ? ,s）。其中 1a ， 2a ， ? , sa 互不相同，且 1r +2r +? + sr =n. (1)先證必要性。又由于幾何重?cái)?shù)不大于代數(shù)重?cái)?shù)，所以它們相等。由于 r〔（ IA） +（ I+A） 〕≤ r（ IA） + r（ I+A） ，得到 n≤ r（ IA） + r（ I+A） 。則可得 2A X= 2a X=X，因而有 2a =1，所以 A的特征值為 1a =1， 2a = 1a =1的代數(shù)重?cái)?shù)為 1n ， 2a =1的代數(shù)重?cái)?shù) 為 2n ，則有 1n +2n =n。證畢。設(shè) 1V =2V 。證法類似）時(shí)，有1T? ()wE A? T=10kkn??????????????。從而1T? 2()wE A? T=212()()nww??????????。 先證必要性。設(shè) D= 1P? BP=()ij nnd ? ，則由∧ D=D∧得 ia ijd = ja ijd ，即（ ia ja ） ijd = ia ≠ ja （ i≠ j）知 ijd =0（ i≠ j）即 D= 1122nnddd????????，故 B可對(duì)角化。 第二種情況：用 定理 2來做 下面 證明題。用 ? 右乘 2A =A得 2A ? =A? ，于是有 2? ? =? ? ，即（ 2? ? ） ? =0，由? ≠ 0得 2? ? =0，從而 ? =1或 ? = 0= 2A A=A（ AE），得 r（ A） +r(AE)≤ r（ A） +r(AE)= r（ A） +r(EA)≥ r(A+EA)=r(E)=n故有 r（ A）+r(AE)=n。 定理 3：若 A的每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)和她的代數(shù)重?cái)?shù)相等，則 A可對(duì)角化。 （ 3）1kiii A???= 1T? 11kkII????????T=A。 證：（ 1）由于 A可對(duì)角化，因此存在可逆陣 T，使 A= 1T? 11kkII????????T，其中 1I ， ? , kI 均為 1n ， ? , kn 階單位陣，且 1n +2n +? +kn =n。從而 D= 1D 。則 A=LDU 其中L 為單位下三角矩陣（對(duì)角線元素都是 1 的下三交矩陣）， D 為對(duì)角矩陣， U 為單位上三角矩陣。 那 么 A=PQ 。A= 1nnAaba??????= 11nnpq aba??????. 1101nEbQ?????????11 001p???????11nnp q aba?????? = 11139。令P=12 1 2 212000n n nnpppp p p????????， Q=11 12 1
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