有關(guān)對角矩陣的證明與應(yīng)用畢業(yè)論文設(shè)計-文庫吧
2025-05-14 14:20 本頁面
【正文】 2來做 下面 證明題。 例 4：設(shè) n 階方陣 A 的 n 個特征值互異，又設(shè) n 階方陣 B 滿足 AB=BA，證明 B 可對角化。 證：設(shè) A的 n個互異特征值為 12, ,..., na a a ，則存在 n 階可逆矩陣 P，使得1P? AP=12naaa????????=∧。由題設(shè) AB=BA，有 1P? AB= 1P? BAP，即（ 1P? AP）（ 1P? BP） =（ 1P? BP） ( 1P? AP),也即∧（ 1P? BP） =（ 1P? BP）∧。設(shè) D= 1P? BP=()ij nnd ? ，則由∧ D=D∧得 ia ijd = ja ijd ，即（ ia ja ） ijd = ia ≠ ja （ i≠ j）知 ijd =0（ i≠ j）即 D= 1122nnddd????????，故 B 可對角化。 例 5：證明： n 階方陣 A 相似于對角矩陣的充分必要條件是對每個數(shù) w，由 2( ) 0wE A x??可以導(dǎo)出 ( ) 0wE A x??，其中 E是單位方陣， x是 n維列向量。 證： 1V 是 ( ) 0wE A x??的解空間， 2V 是 2( ) 0wE A x?? 的解空間，條件“ 2( ) 0wE A x??可以導(dǎo)出 ( ) 0wE A x??”的含義是 2V ? 1V 但總有 1V ? 2V 。因此本體可改為 n階方陣 A相似于對角矩陣的充分必要條件是對每個數(shù) w，總有 1V = 2V 。 先證必要性。設(shè) 11nT A T??????????。其中 1? ， ? , n? 為 A的全部特征值。當 w≠ i? （ i=1,2， ? ,n）時， 1T? ()wE A? T= 1nww??????????。從而1T? 2()wE A? T=212()()nww??????????。所以秩 ()wE A? =秩 2()wE A? ，于是 1dimV =n秩 ()wE A? =n秩 2()wE A? = 2dimV 。而 1V ? 2V ，從而 1V =2V 。 當kw ?? （還可能有多重特征值。證法類似）時，有1T? ()wE A? T=10kkn??????????????。從而 1T? 2()wE A? T= 212()0()kkn??????????????仍有秩 ()wE A? =秩 2()wE A? 。所以1dimV = 2dimV 即 1V = 2V 。 再證充分性。設(shè) 1V =2V 。用反證法，若 A不相似于對角矩陣，一定存在若當性矩陣 J使111stT A TJJ???????? ??????其中11111nnaJa ??????????，1n ＞ w=a，則1T? ()wE A? T=10110staaaE J???????????????????????????1T?2()wE A? T=2122()()0 0 1100()staaaE J???????????????????????????從而 1dimV ＜ 2dimV 從而與 1V =2V 矛盾。所以假設(shè)不成立。進而 A 相似于對角矩陣。證畢。 第三種情況：用 A可對角化的充分必要條件（ 3） A的每一個特征值的幾何重數(shù)和她的代數(shù)重數(shù)相等來做一些證明題。 例 6：設(shè) A 是 n 階方陣，滿足 2A =I，證明 A可對角化。 證：設(shè) A的特征值為 a，對應(yīng)的特征向量是 X。則可得 2A X= 2a X=X，因而有 2a =1，所以 A 的特征值為 1a =1， 2a = 1a =1 的代數(shù)重數(shù)為 1n ， 2a =1的代數(shù)重數(shù)為 2n ，則有 1n +2n =n。現(xiàn)在來求它們的幾何重數(shù)。設(shè) 1a =1的幾何重數(shù)為 1m 就是方程組（ IA） X=0 的基礎(chǔ)解析所含向量的個數(shù)，因而 1m =nr（ IA） 。設(shè) 2a =1 的幾何重數(shù)為 2m 就是方程組（ I+A） X=0 的基礎(chǔ)解析所含向量的個數(shù)，因而 2m =nr（ I+A） 。由于 r〔（ IA） +（ I+A） 〕≤ r（ IA） + r（ I+A） ，得到 n≤ r（ IA） + r（ I+A） 。另一方面，有（ IA） （ I+A） =0，得到 r（ IA） + r（ I+A） ≤ n。故有 r（ IA） + r（ I+A） =n。進一步得到 1m + 2m =n。又由于幾何重數(shù)不大于代數(shù)重數(shù)，所以它們相等。由此知 A可對角化。 例 7：設(shè) A 是一個 n 階復(fù)矩陣， f(? )是 A的特征多項式，求證： A 可對角化的充分必要條件是如果 a是 f(? )的 k 重根，則 aEA的秩等于 nk。 證：設(shè) f(? )= 1212( ) ( ) ...( ) srrr sa a a? ? ?? ? ?。其中 1a ， 2a ， ? , sa 互不相同，且 1r +2r +? + sr =n. (1)先證必要性。設(shè) A相似與對角陣，即存在可逆陣 T=（ 12, ,..., n? ? ? ），使 1T? AT=1212rrssraEaEaE????????則 1T? （ 1a EA）= 21210()()rssra a Ea a E????????.所以秩（ 1a EA） =2r +? + sr =n1r 。類似可證秩（ ia EA） =nir （ i=1,2， ? ,s） 。 （ 2）再證充分性。由于秩（ ia EA） =nir （ i=1,2， ? ,s）。因此（ ia EA）? =0 的基礎(chǔ)解析所含向量為 ir 個（ i=1,2， ? ,s），那么在（ 1a EA） ? =0中，有 1r 個線性無關(guān)的特征向量為11,..., r??；在（ 2a EA） ? =0 中，有 2r 個線性無關(guān)的特征向量為1 1 21,...,r r r????； ? 。 在（ sa EA） ? =0 中，有 sr 個線性無關(guān)的特征向量為11... 1,...,sr r n???? ? ?。而且不同特征值的特征向量有線性無關(guān)，令 T=（ 12, ,..., n? ? ? ）則 T 為可逆陣而且 AT=（ 12, ,..., n? ? ? ）1212rrssraEaEaE????????此即 1T? AT=1212rrssraEaEaE????????故 A可對角化。 用矩陣對角化的方法證明高代里的一些問題 第一種情況：利用對于任意一個 n級實對稱矩陣 A，都存在一個 n 級正交矩陣 T，使 39。T AT = 1T? AT 成對角形。再結(jié)合正定矩陣和一個對角線上元素全都大于零的對角矩陣合同可以證明一些有關(guān)正定矩陣的問題。 例 1：已知 A,B 均為 n階實對稱正定陣，且有 AB=BA，試證： AB也是正定矩陣。 證： AB∈ nnR? ， 39。()AB = 39。B 39。A =BA=AB∴ AB 是 n階實對稱陣?？梢宰C明：存在同一個實可逆陣，使 1T? AT= 1 00 naa??????， 1T? BT= 1 00 nbb??????①。事實 上，存在正交陣 P，使 1P? AP=39。1139。00 ssaEaE??????，其中 iE 是單位陣， 39。39。1,..., saa互不相同。有 AB=BA 得（ 1P? AP）（ 1P? BP） = 1P? ABP= 1P? BAP=（ 1P? BP）（ 1P? AP）于是 39。P BP= 1P? BP= 1 00 SBB??????,其中 iB 與 iE 是同階方陣（ i=1， 2， ? ,n）由39。B
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