有關(guān)對(duì)角矩陣的證明與應(yīng)用畢業(yè)論文設(shè)計(jì)(已修改)
2025-06-19 14:20 本頁面
【正文】 本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì) 有關(guān)對(duì)角矩陣的證明與應(yīng)用 作 者 姓 名 ： 韓忠珍 指 導(dǎo) 教 師 ： 劉淑霞 所 在 學(xué) 院 ： 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) （ 系 ） ： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí) （ 屆 ）： 2021 屆數(shù)學(xué) C 班 二〇一 三 年 五 月 一 日目 錄 有關(guān)對(duì)角矩陣的證明與應(yīng)用 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 指導(dǎo)教師 劉淑霞 作 者 韓忠珍 摘要： 矩陣的對(duì)角化是反映矩陣性質(zhì)的一個(gè)重要概念 ,不論是對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)高等代數(shù)還是非數(shù) 學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)而言學(xué)習(xí)和理解它的含義都是十分必要的。通過本篇論文 主要研究矩陣的對(duì)角化的有關(guān)問題 ,總結(jié)了矩陣對(duì)角化的運(yùn)算 ,性質(zhì) ,求法 ,以及在解決高等代數(shù)，常微分方程、空間解析幾何的問題中所滲透的一些與矩陣對(duì)角化相關(guān)的知識(shí) ,使得對(duì)矩陣的對(duì)角化有了更加深刻的理解與認(rèn)識(shí) ,從而能夠更加靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決相關(guān)問題 . 關(guān)鍵詞 :矩陣的對(duì)角化 特征值 特征向量 1 有關(guān)對(duì)角矩陣的證 明 有關(guān)對(duì)角矩陣的分解 第一種情況：對(duì)任意一個(gè) n 級(jí)矩陣 A 的順序主子式都不等于零，我們可以利用初等變換將其 化為一個(gè)上三角矩陣，即 A等于一個(gè)下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積。而每一個(gè)上（下）三角矩陣又等于一個(gè)單位上（下）三角矩陣和一個(gè)對(duì)角陣的乘積。利用以上結(jié)論可以證明一些例題。 例 1：設(shè) n 級(jí)矩陣 A 的順序主子式都不等于零，則 A 可以唯一的分解成 A=LDU的形式，其中 L為單位下三角矩陣（對(duì)角線元素都是 1 的下三角 矩陣）， D 為對(duì)角矩陣， U為單位上三角矩陣。 證明：令 A= 11 11nn nnaaaa??????，由于 n級(jí)矩陣 A的順序主子式都不等于零故 a11≠ 0，用 ai1/a11(i=2,3, ? )乘以第一行 依次加到以下各行，又由于 A的順序主子式都不等于零，則 a22′ ≠ 0，依次往下消零，相當(dāng)于 A進(jìn)行一系列初等變換得到一個(gè)上三角矩陣。 A=PQ,P 為一系列初等下三角矩陣之積仍為下三角矩陣， Q為最后 A經(jīng)變化所得的階梯形上三角矩陣。令P=12 1 2 212000n n nnpppp p p????????， Q=11 12 122 2000nnnnq q qqqq????????. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上面 A 可以分解成 A=PQ 的形式是正確的。⑴當(dāng) n=1時(shí)， A=PQ 顯然正確。⑵假設(shè)當(dāng) A 為 n1 階矩陣時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng) A 為 n 階矩陣時(shí)有 A= 1nnAaba??????。其中 A1=P1Q1 ， P1 為下三角矩陣， Q1 為上三角矩陣。A= 1nnAaba??????= 11nnpq aba??????. 1101nEbQ?????????11 001p???????11nnp q aba?????? = 11139。0nnQ p aa???????。令1 1 01nEbQ?????????11 001p???????= 1p? ， 11139。0nnQ p aa???????=Q，則 1p? 為下三角矩陣從而 p 也為下三角矩陣， Q 為上三角矩陣。那么 A=PQ 。 P=12 1 2 212000n n nnpppp p p????????= 10*1?????? 11 00 nnpp??????， Q=11 12 122 2000nnnnq q qqqq????????= 11 00 nn??????39。1*01????????. 令L= 10*1??????， D= 11 00 nnpp??????11 00 nn??????， U=39。1*01????????。則 A=LDU其中L 為單位下三角矩陣（對(duì)角線元素都是 1 的下三交矩陣）， D 為對(duì)角矩陣， U 為單位上三角矩陣。下證 A=LDU分解的唯一性。假設(shè)又有 A= 1 1 1LDU 也滿足分解條件，則 LDU= 1 1 1LDU ，11L? LDU 1U? = 111 1 1 1L LDUU??, 11L? L= 1111DUU D??,由于等式左邊是單位下三角矩陣等式右邊是單位上三角矩陣，故 11L? L=E,即 L= 11L? 。同理， U= 1U 。從而 D= 1D 。唯一性得證。 第二種情況：利用分塊矩陣和若 A可對(duì)角化則存在可逆陣 T使A= 1T? 1s????????T，我們可以證明一些有關(guān)矩陣分解的問題。 例 2：設(shè) A 是 n n 方陣， A有 k個(gè)不同的特征值 1? ? k? .證明：若 A可對(duì)角化，則必存在 n n 冪等陣 1A ,? , kA ,使得（ 1） ijAA =0（ i≠ j）；（ 2）1kini AI? ??（ nI 是 n n單位陣）；（ 3） A=1kiii A???。 證：（ 1）由于 A 可對(duì)角化，因此存在可逆陣 T，使 A= 1T? 11kkII????????T，其中 1I ， ? , kI 均為 1n ， ? , kn 階單位陣，且 1n +2n +? +kn =n。令iA = 1T?00iI????????T，（ i=1,2， ? ,k） ,則 2iA = iA ，（ i=1,2， ? ,k），此即 iA 為冪等陣。且 ijAA =0（ i≠ j）。 （ 2）1kii A??= 1T? 1kII??????T= 1T? nI T=nI 。 （ 3）1kiii A???= 1T? 11kkII????????T=A。 證明一個(gè)矩陣可對(duì)角化 矩陣相似對(duì)角化 的定義 ： 所謂矩陣相似對(duì)角化是指矩陣和某對(duì)角形矩陣相似。 定理 1： n 階矩陣 A 與對(duì)角矩陣相似（即 A 可對(duì)角化）的充分必要條件是 A有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 定理 2：設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣 P，使 1P AP? =? ，其中 ?是以 A的 n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣。 定理 3：若 A 的每一個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)和她的代 數(shù)重?cái)?shù)相等，則 A可對(duì)角化。 第一種情況：用 定理 1來做 下面 證明題。 例 3：設(shè) n 階方陣 A 滿足 2A =A,且 r（ A） =r A相似于對(duì)角矩陣000rE??????。 證：設(shè) A? =? ? （ ? ≠ 0），即 ? 是 A 的特征值， ? 是 A對(duì)應(yīng) ? 的特征向量。用 ? 右乘 2A =A 得 2A ? =A? ，于是有 2? ? =? ? ，即（ 2? ? ） ? =0，由? ≠ 0 得 2? ? =0，從而 ? =1 或 ? = 0= 2A A=A（ AE），得 r（ A） +r(AE)≤ r（ A） +r(AE)= r（ A） +r(EA)≥ r(A+EA)=r(E)=n 故有 r（ A）+r(AE)=n。于是，由題設(shè)條件 r（ A） =rn 得 r(AE)=nr，從而齊次線性方程組 A? =（ A0E） ? =0的基礎(chǔ)解析含有 nr 個(gè)解向量，即 A的屬于特征值 ? =0的線性無關(guān)特征向量有 nr個(gè)；而齊次線性方程組（ AE） ? =0的基礎(chǔ)解析含有 r個(gè)解向量，即 A的屬于特征值 ? =1的線性無關(guān)特征向量有 r個(gè)。這表明 A 共有 n個(gè)線性無關(guān)特征向量，從而 A可對(duì)角化。故 A 相似于對(duì)角矩陣000rE??????。 第二種情況：用 定理
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