【正文】 矩陣的算法、矩陣的轉(zhuǎn)置和基本概念，如矩陣的逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中矩陣理論的創(chuàng)立者被一致認為是英國數(shù)學(xué)家凱萊（Cayley），是他最先將矩陣作為一個單獨的數(shù)學(xué)上的概念提出來，并且關(guān)于矩陣的很多學(xué)術(shù)論文和著作都是他最早發(fā)表的。矩陣都有自身的行和列，水平的稱之為行，豎直的稱之為列。在這種情況下，矩陣應(yīng)運而生。在計算的過程中經(jīng)常使用矩陣的初等變換進行消元，具體說就是通過一些計算技巧將前面給出的增廣矩陣化為行最簡型。天津科技大學(xué)2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計矩陣函數(shù)以及應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計1 緒論 矩陣（Matrix）的發(fā)展與歷史人們對矩陣（Matrix）的研究歷史非常悠久，在很久以前就已經(jīng)有人研究過了幻方和拉丁方陣。但是當時我們能知道的矩陣知識非常的少，雖然過去的標準和現(xiàn)在的矩陣在表示上已經(jīng)非常的類似了，但這兩者都是以線性方程為基本標準?，F(xiàn)在對于我們來說非常熟悉的矩陣和行列式，它們的概念是非常的不一樣的。這些我們現(xiàn)在能看到的關(guān)于矩陣的一切都是由無數(shù)數(shù)學(xué)家的摸索得來的。事實上最早的矩陣是從對大量行列式的研究中分離出來的，因為和行列式對應(yīng)的方陣本身就可以做許多的研究和運用，隨著對行列式研究的深入，矩陣的許多知識點也日漸完善。除此之外，英國數(shù)學(xué)家凱萊（Cayley）也給出了方陣的特征根（特征值），還有其他許多結(jié)論。到了19世紀90年代，梅茨勒（Metzler）首先提出了矩陣函數(shù)的基本概念，最后找到用冪級數(shù)形式將表示矩陣的方法，這些對矩陣的發(fā)展意義重大。另外一個在實際操作中很有意義的作用是代表線性變換，即是像f(x)、4x之類的關(guān)于線性函數(shù)的推論。 本文所做的主要工作矩陣理論包含的內(nèi)容非常非常多，矩陣函數(shù)在矩陣理論中占據(jù)非常重要的位置，相比于矩陣函數(shù)中的其他知識，矩陣多項式比較容易理解，就是這樣容易理解的矩陣多項式是我們對矩陣函數(shù)進行研究的理論基礎(chǔ)。文章的第二部分，總結(jié)了矩陣函數(shù)的概念、性質(zhì)、推論，介紹了若干重要的矩陣函數(shù)。本文的第四部分，通過查閱文獻和指導(dǎo)教師交流的方式，在求解線性微分方程過程中有對矩陣函數(shù)的應(yīng)用研究，并介紹了在線性系統(tǒng)的可控性和可觀性中矩陣函數(shù)的應(yīng)用。對里的元素定義代數(shù)類運算，叫作加法；就是給出一種規(guī)則，使中任意兩個元素和，都能在中找到唯一的一個和它匹配，其中是與的和，記為。把數(shù)列的項，…，…逐項相加得到的函數(shù)。研究函數(shù)經(jīng)常會用到級數(shù)，它不管在理論上還是實際中都有很多用途，原因主要有一下兩個方面：一、許多經(jīng)常用到的非初等函數(shù)可以用級數(shù)表示，級數(shù)還可以表示微分方程的解；二、函數(shù)可以用來表示級數(shù)，也能用級數(shù)去探討函數(shù)的性質(zhì)。正定矩陣 在線性代數(shù)里，正定矩陣有時會簡稱為正定陣。在充分大時，為正定矩陣。它是研究線性泛函的一個重要目標。即, 因此，在對角線上的元素，,有， 在非偶數(shù)域中，有，即反對稱矩陣對角線元素為零，此性質(zhì)只在非偶數(shù)域中成立。假如表示的譜半徑，即。1可對角化矩陣 如果階方陣能與一個對角矩陣相似，就說可對角化。然后引入線性無關(guān)的概念。矩陣函數(shù)的多項式表示：設(shè)是數(shù)域F上的一個階矩陣，簡記為，是數(shù)域F上的一個次多項式，簡記為，將此多項式中換成，其中換成單位矩陣，則矩陣函數(shù)可以定義為：矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示：設(shè)，如果一元函數(shù)能夠展開為z的冪級數(shù)=，R，把收斂的矩陣冪級數(shù)的和稱為矩陣函數(shù)，記為，即=。性質(zhì)10：設(shè)是反對稱矩陣，函數(shù)在上有定義，且為奇函數(shù)，則是反對稱矩陣。以下是矩陣函數(shù)的基本性質(zhì)：根據(jù)上面給出的用冪級數(shù)定義的矩陣函數(shù)，可以得到。(2)；(3)證 （1）顯然滿足矩陣加法的交換律，： (2)在（1）中令B=A,則得,所以(3)設(shè)A的特征值為，則的特征值為，因此推論 ，(是整數(shù))。矩陣三角函數(shù)的基本性質(zhì)：(1) (2)，(3) (4)若，則 證(1)因為，將分為偶數(shù)和奇數(shù)，則有 (2)同(1)證可得 兩式相加得兩式相減得(3)因為，所以，又因為，所以(4)若，得 同理可證 3 矩陣函數(shù)的計算矩陣函數(shù)的計算問題是矩陣的實際應(yīng)用的一個關(guān)鍵問題。本文主要研究了最有代表性四種方法．四種方法是不同的，這涉及到微分方程的求解、Jordan標準化形式、特征多項式等一些知識。本章介紹了幾種求矩陣函數(shù)的方法，為了簡化運算以下式中出現(xiàn)的矩陣函數(shù)均假設(shè)為收斂的矩陣冪級數(shù)。假如一個矩陣是可逆的，可以得到它的伴隨矩陣和它的逆矩陣之間是一種倍數(shù)的關(guān)系。（1）中求得的矩陣轉(zhuǎn)置就是的伴隨矩陣，補充：（實際求解伴隨矩陣即A*=adj（A）：去除的行列式中元素對應(yīng)的第行和第列得到的新行列式代替，這樣就不用轉(zhuǎn)置了）例 設(shè)是n階可逆矩陣，則，其中g(shù)(l)是一個n－1次多項式．證 設(shè)的特征多項式為，通過HamilionCayley定理，可以得到O．因為A是可逆矩陣，所以，于是上式可化為，這表明，其中，是一個n－1次多項式．設(shè)是一個數(shù)域，是文字，求多項式環(huán)，一個給定的矩陣若它的元素都是關(guān)于的一個多項式，即的所有元素，.上面提到的多項式環(huán)中的環(huán)其實是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)。2）*具有封閉性，就是對于任意的a∈R,b∈R，總是有a*b∈R。通過行列式的本質(zhì)，可以看到只用了元素的加法和乘法，所以，矩陣的行列式也是一個多項式，它和數(shù)字矩陣的行列式具有同樣的性質(zhì)。設(shè)都是階矩陣，如果存在階可逆矩陣使,則稱矩陣與矩陣相似。如果一個方陣有乘法交換律，那么這個方陣就是可交換矩陣，用數(shù)學(xué)表達式表示就是：。任何一種線性變換都能用矩陣表示，并且它更容易計算，就算有很多線性變換只要正確地使用矩陣乘法就能夠?qū)⑺鼈冞B接起來。對角矩陣就是這樣的一種特殊矩陣，接著就來介紹求對角矩陣函數(shù)的方法。 利用Jordan標準形法求矩陣函數(shù)設(shè)矩陣的Jordan標準形為，即,則必存在可逆矩陣，使從而由矩陣函數(shù)的性質(zhì)4可知所以求可以通過以下3個步驟來計算：第一步，先求出的Jordan標準形，接著求相似的變換矩陣，使得；第二步，計算，其中第三步，利用求出該方法的關(guān)鍵在于如何求Jordan標準形J，這里簡單描述了怎么用初等因子法求Jordan標準形J:文獻[ 10 ]中有基本因素不變因子的定理和定義，有如下摘錄：定義3 標準形的主對角線上非零元素的不變因子。下面我們介紹根據(jù)化零多項式求解矩陣函數(shù)的一種方法，希望能達到降低計算量的目的。設(shè)階方陣的不變因子反向依次為，由他們給出的初等因子分別為其中。首先了解初等變換的概念。由于本文是矩陣函數(shù)及其應(yīng)用的研究，因此本文主要對矩陣的初等變換進行闡述，對另外兩種初等變換不作詳細介紹。如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣，那么矩陣與是等效的。4 矩陣函數(shù)的應(yīng)用矩陣函數(shù)理論對于矩陣理論意義重大?，F(xiàn)代科學(xué)技術(shù)有許多不同的領(lǐng)域，其中包括的自動控制技術(shù)在各個方面的作用越來越明顯。同樣地，為了更好地研究本問題，對本問題中涉及到的控制學(xué)中概念做一些簡單介紹。[14]最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換作為最基本的數(shù)學(xué)知識，它的最根本的數(shù)學(xué)模型就是前面提到的傳遞函數(shù)，最基本的研究和綜合方式是通過頻率響應(yīng)的方法。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是：通過描述狀態(tài)的內(nèi)部空間的方法代替以前的使用傳遞函數(shù)的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過在時間區(qū)域內(nèi)對整個系統(tǒng)進行探討和整合。這種影響集中體現(xiàn)在用“內(nèi)在研究”替代了傳統(tǒng)的“外在研究”，并將探討和整合的過程需要的基礎(chǔ)理論變的更加嚴格起來。為了使研究的問題更透徹，接下來重點介紹一下能控性和能觀測性。下面就給出線性系統(tǒng)的可控制性與可觀測性的定義。在這里簡單介紹一下非奇異矩陣。能觀測性定義一般地，對于線性定常系統(tǒng) 如果在的有限時間區(qū)間[，]內(nèi)，通過觀測,能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)，稱系統(tǒng)狀態(tài)在是能觀測的；如果對任意的初始狀態(tài)，可以觀察到，就說系統(tǒng)是完全可觀測的，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)可以觀察或系統(tǒng)可觀察。二、能控性與能觀測性的判定線性的系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)特征是能控性與能觀測性，它們表示的是系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)內(nèi)在狀態(tài)量之間的聯(lián)系。如果任何形式的狀態(tài)變量的輸出系統(tǒng)都充分體現(xiàn)了運動，所代表的系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則稱為觀察。如果的秩為，可控性矩陣Qk=[B AB A2B … AnrB]。滿秩矩陣這個概念非常重要，它能判斷矩陣是否可逆，非奇異矩陣是滿秩矩陣。狀態(tài)輸入型的傳遞函數(shù)：（SIA）1B無零極點相消現(xiàn)象，它是完全可控的。是在最開始的系統(tǒng)中輸出變量的拉氏變換和輸入變量的拉氏變換的商。所以可以先將整體分為幾個部分，先求出每個部分自己的傳遞函數(shù)，再通過一定的邏輯性將這些傳遞函數(shù)組合起來就是我們要求的整體的傳遞函數(shù)。一個純虛復(fù)數(shù)當它的虛部是角頻率時在傳遞函數(shù)中被稱作頻率響應(yīng)。拉普拉斯變換方法計算出結(jié)果的線性微分方程是非常明顯的，因為它可以將微分方程化為代數(shù)方程，所以計算很簡單。拉普拉斯變換是通過的連續(xù)時間函數(shù)再通過關(guān)系式(式中為自然對數(shù)底的指數(shù))變換為復(fù)變量的函數(shù)。如果是在[0,+∞)積分，稱為單側(cè)拉普拉斯變換，用表示，它是一個復(fù)變函數(shù)。不難看出有關(guān)傳遞函數(shù)的理論在現(xiàn)代的控制理論扮演著重要的角色。利用對角約當規(guī)范型來判斷。令P=[ .....